三角形四心问题

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1、七、三角形四心问题一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,,是三角形的

2、三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令3（)化简得（4）为的外心。三、例题分析例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的例2：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的3四、巩固练习1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为2．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是4．的外接

3、圆的圆心为O，若，则是的5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=7．已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为8．已知三个顶点，若，则为3