中考数学第一轮复习圆与圆2

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1、25.圆与圆（二）知识考点：1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。精典例题：【例1】如图，⊙O1与⊙O2外切于P，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，我们称△PAB为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：（1）△PAB是直角三角形，并且∠APB＝900；（2）△PAB的外接圆与连心线O1O2相切；（3）以O1O2为直径的圆与Rt△PAB的斜边AB相切；（4）斜边AB是两圆直径的比例中项；（5）若⊙O1、⊙O2的半径为、

2、，则PA∶PB∶AB＝∶∶；（6）内公切线PC平分斜边AB；（7）△CO1O2为直角三角形。这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明。如图2，⊙A和⊙B外切于P，CD为两圆的外公切线，C、D分别为切点，PT为内公切线，PT与CD相交于点T，延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F，又⊙A的半径为9，⊙B的半径为4。（1）求PT的长；（2）求证：；（3）试在图中找出是线段PA和PB比例中项的线段，并加以证明。分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T为CD的中点，∠CPD＝900，PT即为外公切线长

3、的一半，CF、DE分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了。解：（1）作BG⊥AC于G，则CD＝BG＝∴PT＝CT＝TD＝CD＝6证明（2）PT＝CD，∴∠CPD＝900∴CF、DE分别是⊙A和⊙B的直径又∵CD切两圆于C、D，∴FC⊥CD，ED⊥CD∴CF∥DE，∴，∴（3）图中是PA和PB比例中项的线段有PT、CT、DT（证明略）【例2】如图，⊙O和⊙内切于点B，⊙经过O，⊙O的弦AE切⊙于点C，AB交⊙于D。（1）求证：；（2）设AB＝10cm，DC＝cm，求AC和BC的长。分析：两圆相切，常见辅助线是作两圆公切线，作连心线，本题添了这两种辅助线，问题便迎刃而解了。（1）

4、证明：过B作两圆的公切线BT，证△BCD∽△BEC即可；（2）解：连结并延长，连结OD∵⊙O与⊙内切，∴O、、B三点共线∴BO为⊙的直径∴OD⊥BD，∴AD＝BD＝AB＝5cm∵AC切⊙于C，∴∠4＝∠5，又∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC，∴∴，cm探索与创新：【问题一】如图，AB为半⊙O的直径，⊙O1与半圆内切于，与AB相切于，⊙O2与半圆内切于，与AB相切于，请比较∠AC1D1与∠AC2D2的大小。分析：显然O、O1、共线，O、O2、共线，又∵O1D1⊥AB，O2D2⊥AB∴∠A1C1D1＝∠AC1O－∠OC1D1＝（∠OO1B－∠OOD1）＝∠O1D1O＝×900＝450

5、；∠AC2D2＝∠AC2O＋∠OC2D2＝（∠C2OB＋∠OO2D2）＝×900＝450，故∠AC1D1＝∠AC2D2。【问题二】如图，已知圆心A（0，3），⊙A与轴相切，⊙B的圆心在轴的正半轴上，且⊙A与⊙B外切于点P，两圆的公切线MP交轴于点M，交轴于点N。（1）若sin∠OAB＝，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在轴的正半轴上移动，并使⊙A与⊙B始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：①四边形OMCB是什么四边形？对你的结论加以证明；②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三

6、角形？若存在，表示出来；若不存在，请说明理由。解：（1）提示：先求出M（0，－2）、N（，0），再用待定系数法易得直线MP的解析式：，过M、N、B三点的抛物线的解析式为；（2）①四边形OMCB是矩形，证明如下：在⊙A不动，⊙A运动变化过程中，恒有∠BAO＝∠MAP，OA＝AP，∠AOB＝∠APM＝900，∴△AOB≌△APM，∴PB＝PM，AB＝AM，∴PB＝OM，而PB＝BC，OM＝BC。由切线长定理知MC＝MP，∴MC＝OB，∴四边形MOBC是平行四边形，又∵∠MOB＝900，∴四边形MOBC是矩形。②存在，由上证明可知，Rt△MON≌Rt△BPN，∴BN＝MN。因此存在过

7、M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在。由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称，∴BN＝，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB和△。跟踪训练：一、选择题：1、如果两圆的半径分别为、，外公切线长为，那么这两个圆（）A、相交B、外切C、外离D、外切或外离2、两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，大圆的半径是，小圆的半径是，则等于（）A、B、C、2D、3、已知⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P的直线AB分别交⊙O1、⊙O2于A、B。已知⊙O1和⊙O2的