关于数学解题思想的探讨

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1、关于数学解题思想的探讨进行数学教育的目的不能只局限于对这一结果的表述，而要在一定意义上去重复数学历史的主要进程。重演一遍已知求证的过程，对学生教授数学知识，帮助学生灵活地掌握解题思想。一、教学中常用的数学解题思想类型（一）转化思想解题过程就是将要解决的问题转化成为已经学过的知识。数学中的转化思想无处不在，无时不用。它的基本出发点就是使陌生问题熟悉化、隐性问题明朗化、抽象问题具体化、复杂问题简单化、无序问题和谐化。例如中学数学里，“已知线段a，求作线段使它等于5a。”解题时可以先假设一个直角边分别为a、2a的直角三角形，使其斜边为5a；又或者是假设一个斜边为3a、一直角边

2、为2a的直角三角形，然后使其另一直角边为5a。再比如，探讨多边形内角和时，启发学生运用三角形内角和。这些都是是转化思想的一种体现。类似的问题不胜枚举，中学数学里所训练的几何问题，在由结论想条件进行逆向推理分析的时候，每一步几乎都渗透着转化思想。（二）数形结合思想所谓的数形结合思想就是抓住数与形之间，在本质上的联系，然后以“形”直观表达“数”，或者以“数”精确地研究“形”。它可以把抽象的数转化为直观的形，或把复杂的形转化具体的数，从而达到简捷解题的目的，数形结合思想在解题中的起着非常重要的作用。例如在解决不等式组等这类问题的时候，教师可以用数轴来表示每个不等式的解集，然后

3、用阴影部分体现三个解集的公共部分，使问题变得简单而明了，便于学生理解和掌握。在课堂教学时，很多问题一旦教师出示了图形或教具，就会使得困难的问题简单化，学生很容易就从直观上理解了问题和数学概念。（三）方程思想许多数学问题的解决都离不开方程，而把问题归结为方程来解决的思想就是方程思想。以几何题来举例，“已知一直角三角形两直角边之和为12，斜边长5，求面积。”这道题我们可用方程来解决。假设一直角边为x，那么另一直角边就为（12-x），得出方程：x+（12-x）=25，最后求出面积。方程思想还可以用于解决许多现实生活、生产中的问题，例如“打折销售”、“购房贷款”、“家居装修”等

4、等，这些问题往往在数学教育中以应用题的方式来对学生进行训练。（四）分类讨论思想分类思想，即根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分成为不同种类的思想方法。在解题过程中，当条件或结论不是唯一时，就会产生几种可能性，需要进行分类讨论。分类要不重不漏，做到科学合理。例如对有理数进行分类，一是有理数分为整数和分数；二是有理数包括正有理数、0以及负有理数。那么教师在进行教学时，就必须要让学生清楚这种分类的标准。再比如对三角形进行按边分类或者按角分类，如果不强调分类的标准，学生就很容易混为一谈。二、原理性的数学解题思想类型（一）系统思想从系统论来看，一道数学题可构成一个

5、系统。所以在系统论中的整体意识和“黑箱方法”在数学解题中有着广泛的应用。1、整体意识在数学解题上的应用，是指对于一个数学问题，应该重点着眼于问题的整体结构，而不只是它的局部特征。然后应通过全面而深刻的考察，从宏观上去理解和认识问题的实质，挖掘和发现出已有元素在整体结构中的地位和作用，以求找到求解问题的思路。辨证思想的运用，往往会体现在以下几个方面：1、非线性结构与线性结构的转换；2、已知与未知的转换；3、常量与变量的转换；4、正面与反面的转换；5、静与动的转换；6、数与形的转换；7、有限与无限的转换。（三）运动变化思想在数学解题过程当中，运动变化思想分为以下三种类型：1

6、、化静为动，从运动变化中理解数学对象的变化发展过程；2、动中寓静，从不变中把握数学对象变化的本质特征；3、动静转化，充分揭示运动形态间的互相联系。例如，将常数看成变数的取值，将离散看成连续的特例，或者将方程或不等式看成函数的取值，将静止状态看成运动过程的瞬间等等，常常会使问题的求解创出一种新的形式或局面，从而得到突破。（四）建模思想这是指把实际问题进行“数学化”处理，将实际问题抽象为模型化的数学问题，以揭示实际问题的本质。如此不仅能解决具体的实际问题，还能锻炼应用数学知识的能力。因此数学建摸的思想与方法日益受到人们重视。具体的建模分成以下几种类型：1、建立代数函数模型；

7、2、建立解析几何模型；3、建立平面几何模型；4、建立物理模型；5、建立三角形函数模型。（五）审美思想数学美具备着简洁性、对称性、统一性、和谐性以及奇异性。从数学发展史来看，数学家往往因为追求数学美而获取了许多新发现，不断推动数学向前发展。而在数学解题中，则可通过数学审美而获得数学美的直觉，促使题感经验与审美直觉相配合，激活思维中的关联因素，从而找到解决问题的突破口。总之，思想是行动的指南。数学解题思想，就是利用数学知识和方法使其得到求证的逻辑手段，它对解题具有决定性的作用。在数学学习或数学教学过程中，对数学思想给予足够的重视，将大有裨益。