高中数学奥赛辅导系列-简单的函数方程

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1、简单的函数方程（一）函数方程的概念：1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程．如f（x＋1）=x、f（－x）=f（x）、f（－x）=－f（x）、f（x＋2）=f（x）等．其中f（x）是未知函数2.函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解．如f（x）=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理（柯西函数方程的解）若f（x）是单调（或连续）函数且满足f（x＋y）=f（x）＋f（y）（x，y∈R）、则f（x）=xf（1）证明：由题设不难得f（x1＋x2＋…＋xn）=f（x1）＋f（x

2、2）＋…＋f（xn）取x1=x2=…=xn=x，得f（nx）=nf（x）（n∈N+）令x=0，则f（0）=nf（0），解得f（0）=0---------（1）x=1，则f（n）=nf（1）x=，则f（m）=nf（），解得f（）=f（m）=f（1）-------（2）x=－，且令y=－x＞0，则f（x）＋f（y）=f（x＋y）=f（0）=0∴f（x）=－f（y）=－yf（1）=xf（1）（m，n∈N+，且（m，n）=1）---（3）由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f（x）=xf（1）另一方面，对于任意的无理数x，因f（x）连续，取以x为极限的有理数序列{xn}

3、，则有：f（x）=f（xn）=xnf（1）=xf（1）综上所述，对于任意实数x，有f（x）=xf（1）函数方程的解法：1.代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1（1）已知f（2x－1）=x2＋x，那么f（x）=______________．略解：设t=2x－1，则x=（t＋1），那么f（t）=（t＋1）2＋（t＋1）=t2＋t＋，故f（x）=x2＋x＋．（2）已知f（＋1）=x＋2，那么f（x）=____________．略解：f（＋1）=（＋1）2－1，故f（x）

4、=x2－1（x≥1）（3）已知f（x＋）=x2＋，那么f（x）=_______________．略解：f（x＋）=（x＋）2－2，故f（x）=x2－2（

5、x

6、≥2）例2设ab≠0，a2≠b2，求af（x）＋bf（）=cx的解解：分别用x=，x=t代入已知方程，得af（）＋bf（t）=------（1）af（t）＋bf（）=ct------（2）由（1），（2）组成方程组解得f（t）=即：f（x）=2.待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得例3已知f（x）是一次函数，且f{f[f---f（x）]}=1024x＋1023．求f（x）10次解：设f（x）=

7、ax＋b（a≠0），记f{f[f…f（x）]}=fn（x），则n次f2（x）=f[f（x）]=a（ax＋b）＋b=a2x＋b（a＋1）f3（x）=f{f[f（x）]}=a[a2x＋b（a＋1）]＋b=a3x＋b（a2＋a＋1）依次类推有：f10（x）=a10x＋b（a9＋a8＋…＋a＋1）=a10x＋由题设知：a10=1024且=1023∴a=2，b=1或a=－2，b=－3∴f（x）=2x＋1或f（x）=－2x－33.迭代法（见竞赛辅导第三讲函数迭代知识）由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法例4设f（x）定义在正整数集上，且f（1）=1，f（x＋y）

8、=f（x）＋f（y）＋xy．求f（x）解：令y=1，得f（x＋1）=f（x）＋x＋1再依次令x=1，2，…，n－1，有f（2）=f（1）＋2f（3）=f（2）＋3……f（n－1）=f（n－2）＋（n－1）f（n）=f（n－1）＋n依次代入，得f（n）=f（1）＋2＋3＋…＋（n－1）＋n=∴f（x）=（x∈N+）例2已知f（1）=且当n＞1时有．求f（n）（n∈N+）解：把已知等式（递推公式）进行整理，得f（n－1）－f（n）=2（n＋1）f（n）f（n－1）∴=2（n＋1）把n依次用2，3，…，n代换，得－=2×3－=2×4……=2（n＋1）上述（n－1）个等式相加，得=2

9、[3＋4＋…＋（n＋1）]=（n－1）（n＋4）∴=＋（n－1）（n＋4）=n2＋3n＋1∴f（n）=4.柯西法在f（x）单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解例3设f（x）连续且恒不为0，求函数方程f（x＋y）=f（x）f（y）的解解：∵f（x）=f（＋）=f（）f（）≥0若存在x0∈R，使f（x0）=0．则对一切实数x，有f（x）=f（x－x0＋x0）=f（x－x0）f（x0）=0这与f（x）不恒为0矛盾，故f（x）＞0对题设f（x＋y）=f（x）f（y）两边取自然对数，得lnf（x＋y）