高中数学奥赛辅导系列 二次函数与方程、不等式教案

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1、二次函数与方程、不等式基础知识：一、二次函数1．定义：形如（）的函数叫二次函数．2．二次函数的有关性质①开口方向②对称轴方程③定义域x0ya＞0x0ya＜03．图象　　　　　　　　　　　　　　　　4．二次函数的解析式①一般式：②顶点式：，其中（m，n）是二次函数图象的顶点③交点式：，其中是一元二次方程的两实根．二、二次方程1．当中，时，即得到二次方程其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标．2．根的判别式＞0时，方程有两个不相等的实数根；＝0时，方程有两个相等的实数根；＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根．1．

2、根与系数的关系（韦达定理）　　　　　　2．二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件（）若有二根，则　若有二根（2，3）则三、一元二次不等式x0ya＞0x0yx0yx1x2x0一元二次不等式（或＜0）的解集，即函数的自变量的取值范围，使其函数值（或＜0）的自变量的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　例题：0x1．选择题①对任意实数t都有，那么（）A．B．C．D．解：由题意，的图象关于直线对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知，选A．②已知在区间（－∞，0）上单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．且D．或解：

3、由函数的单调性的定义知：x在（－∞，0）上增大时，函数值y随之增大，故有以下过程：　　　：　－∞0：　＋∞0故必有0＜a2＜1∴－1＜a＜1且a≠0．选B③已知函数y＝log（x2－6x＋7），则y（）A．有最大值没有最小值B．有最小值没有最大值C．有最大值也有最小值D．没有最大值也没有最小值解：∵u＝x2－6x＋7∈[－2，＋∞）而定义域要求u＞0，即u∈（0，＋∞）∴b＝log0.5u∴b∈（－∞，＋∞）．选D1．填空题①方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______．解：令，则，其函数图象如下：思考：a

4、为何（范围）值时，方程无实数根？有四个实数根？有三个实数根？②关于x的方程的两个实数根分别为，则的最小值是_______________．解：方程有实数根，故∴或又∴∵或∴（a＝3时取等号）∴1．已知函数的图象与x轴无交点，求关于x的方程的根的范围．分析：由于图象与x轴没有交点，所以，解得a的取值范围又对于每一个a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是变化的，可知，x是a的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题．解：∵的图象与x轴无交点，所以解得：－2.5＜a＜3（1）当a∈（－2.5，1]时，方程化为x＝（a

5、＋3）（2－a）＝－a2－a＋6∈（]（2）当a∈（1，3）时，方程化为x＝（a＋3）a＝a2＋3a∈（4，18）综上所述：x∈（，18）2．设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝（k2＋k＋1）x2－2（a＋k）2x＋（k2＋3ak＋b）的图象与x轴都交于点A（1，0）．①求a、b的值；②若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求

6、AB

7、的最大值．分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b的值．解：⑴由已知条件，点A（1，0）在函数图象上，故（k2＋k＋1）－2（a＋k）2＋（k2＋3ak＋b）＝0整理

8、得：（1－a）k＋（b＋1－2a2）＝0∵对k∈，上式恒成立∴1－a＝0且b＋1－2a2＝0从而a＝1，b＝1y＝（k2＋k＋1）x2－2（k＋1）2x＋（k2＋3k＋1）⑵设B（，0），则

9、AB

10、＝

11、－1

12、∵（k2＋k＋1）x2－2（k＋1）2x＋（k2＋3k＋1）＝0的两个根为1、，由韦达定理1•＝整理得：＝1时，得2k＝0Þk＝0≠1时，∵k∈，∴即得：且综合得：∴∴

13、AB

14、＝

15、－1

16、∈[0，2]即

17、AB

18、的最大值为2．1．设实数a、b、c满足a2－bc－8a＋7＝0…………①b2＋c2＋bc－6a＋6＝0…………②求a

19、的取值范围．分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及b＋c，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由建立a的不等式．解：由①得：bc＝a2－8a＋7…………③由①②得：（b＋c）2＝a2－2a＋1即b＋c＝±（a－1）…………④由③④得b，c为方程x2±（a－1）x＋（a2－8a＋7）＝0的两个实数根，由于b，c∈R，所以即：[±（a－1）]2－4（a2－8a＋7）≥0即：a2－10a＋9≤0得：1≤a≤91．设二次

20、函数（a＞0），方程的两个根满足．I．当x∈（0，）时，证明x＜＜；Ⅱ．设函数的图象关于直线对称，证明：．分析：由于涉及方程根的问题，故需用韦达定理来分析和解决．证明：I．令F（x）＝f（x）－x．因为x1、x2是方程f（x）－x＝0的根，得F（x）＝a（x－x1）（x－x2