高中数学奥赛系列辅导资料 函数通行训练题教案

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1、函数通性训练题　　【能力训练】　　A级　　选择题　　★★1．若a＞0，a≠1，F(x)是一奇函数，则是（）　　（A）奇函数　（B）偶函数　（C）非奇非偶函数　（D）奇偶性与a有关　　★★2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[-2，0]时，f(x)的解析式是（）　　（A）f(x)=x+4　　　　　　　(B)f(x)=2-x　　（C）f(x)=3-

2、x+1

3、　　　　　(D)f(x)=2+

4、x+1

5、　　★★★3．设f(x)，g(

6、x)是定义在（-∞，+∞）上的两个函数，对任意实数x，y满足f(x＋y)+(x－y)=2f(x)g(x),若f(0)=0，但f(x)不恒等于0，则　　（A）f(x)，g(x)都是奇函数　　　　（B）f(x)，g(x)都是偶函数　　（C）f(x)是偶函数，g(x)是奇函数　（D）f(x)是奇函数，g(x)是偶函数。　　★★4．奇函数y=f(x)有反函数，函数在[0，+∞]上是减函数，则上是（）　　（A）是增函数　　（B）是减函数　　（C）有时是增函数，有时是减函数　　（D）有时是增函数，有时是减函

7、数，有时是常数函数。　　★★5．函数y=f(x-a)与函数y=f(a-x)的图象间的关系是（）　　（A）关于y轴对称　　　　　　（B）关于x轴对称　　（C）关于直线x=2a对称　　　　（D）关于直线x=a对称　　填空题　　★★6．函数f(x)对一切实数x都满足，并且方程f(x)=0有三个实根，这三个实根的和是________.　　★★★★7．设奇函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，且对任意，都有当x＞0时，f(x)是增函数，则函数在这间[-3，-2]上的最大值是______.　　★★8．

8、定义域是实数域的奇函数f(x)，对任意实数x都有f(x)=f(x+2)则f(2)+f(4)+f(6)+…+f(1992)+f(1994)=_____。　　★★★★9．设函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且单调递增，满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)　　（1）证明：f(1)=0f(1)=0。　　（2）求f(4)。　　（3）若f(x)+f(x-3)≤2，求x的范围。　　（4）举出一个符合上述要求的函数f(x)。　　B级　　★★★10．设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f(2

9、+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在[-30，30]上至少有13个零点，且f(x)是以10为周期的函数。　　★★★★11．函数的最小正周期分别为2π和2。证明f(x)=sinx+sinπx不是周期函数。　　★★★★12．证明：若函数y=f(x)在R上的图解关于点和直线x=b(b＞a)皆对称，则f(x)为周期函数。　　★★★★13．设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何x∈R均有

10、f(x)

11、≤1，以及　　证明：f是周期函数，即存在一个非零实数C，使得对任何

12、x∈R，成立f(x+C)=f(x).参考答案【能力训练】　　A级　　★1．B。　　，故G(x)是偶数。　　2．C。当x∈[－2，－1]时，x+4∈[2，3].f(x)=f(x+2·2)=f(x+4)；当x∈[－3，－2]时，由于f(x)为偶函数∴f(x)=－x，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(x－2)=－(x－2)=－x＋2．　　3．D。令x=0，f(－y)=－f（y）；又将－y代换成y，f(x－y)+f(x+y)=2f(x)g(－y),∴g(－y)=g(y)　　4．A。如果一个函数存在反

13、函数，那么它们的单调状况相同。　　5．D。设图象上任意一点，则　　6．y=f(x)的图象关于对称，其中一根必是，另两根之和是。故所有实根之和是1.5。　　7．令由f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上为增函数，故在（－∞，0）上也为增函数，且f(2)=f(1+1)=2f(1)=4，用定义易知，上为增函数。故[-3，-2]上的最大值是　　8．f(x)为R上的奇函数，f(0)=0,且f(0)=f(2)=f(4)=…=f(1994)=0，故原式为0。　　9．（1）取x=1，y=2，得f(2)=f(1·2

14、)=f(1)+f(2).∴f(1)=0　　（2）f(4)=f(2)+f(2)=2.　　（3）f(x)+f(x+3)=f[x(x-3)]≤2=f(4)，　　所以　　（4）可取.　　B级　　10．f(x)关于x=2和x=7对称。　　f(4)＝f(2+2)＝f(2－2)＝f(0)＝0,f(10)＝f(7+3)＝f(7－3)＝f(4)＝0，于是（0，10]上至少有两个零点。　　f(x＋10)＝f(7＋3＋x)＝f(7－3－x)＝f(4－x)＝f(2＋2－x)＝f(2－2＋x)＝f(x)，∴f(x)以10