高中数学奥赛辅导系列-函数的基本性质（一）

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1、函数的基本性质（一）基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的．例题：1.已知f（x）＝8＋2x－x2，如果g（x）＝f（2－x2），那么g（x）（）A．在区间（－2，0）上单调递增B．在（0，2）上单调递增C．在（－1，0）上单调递增D．在（0，1）上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些．选C．2.设f（x）是R上的奇函数，且f（x＋3）＝－f（x）

2、，当0≤x≤时，f（x）＝x，则f（）＝（）A．－1B．0C．1D．解：f（x＋6）＝f（x＋3＋3）＝－f（x＋3）＝f（x）∴f（x）的周期为6f（）＝f（6×335－1）＝f（－1）＝－f（1）＝－1选A3.定义在实数集上的函数f（x），对一切实数x都有f（x＋1）＝f（2－x）成立，若f（x）＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（）A．150B．C．152D．提示：由已知，函数f（x）的图象有对称轴x＝于是这101个根的分布也关于该对称轴对称．即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝

3、对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于×100＝150所有101个根的和为×101＝．选B4.实数x，y满足x2＝2xsin（xy）－1，则x1998＋6sin5y＝______________．解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法（快速）求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法（x－sin（xy））2＋cos2（xy）＝0∴x＝sin（xy）且cos（xy）＝0∴x＝sin（xy）＝±1∴siny＝1xsin（xy）＝1原式＝75.已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝_______

4、___．解：（逆向思考：什么样的方程有这样的根？）由已知变形得x－∴x2－2x＋19＝99即x2－80＝2x再平方得x4－160x2＋6400＝76x2即x4－236x2＋6400＝0∴b＝－236，c＝6400b＋c＝61641.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），f（x）＝0有实数根，且f（x）＝1在（0，1）内有两个实数根，求证：a＞4．证法一：由已知条件可得△＝b2－4ac≥0①f（1）＝a＋b＋c＞1②f（0）＝c＞1③0＜－＜1④b2≥4acb＞1－a－cc＞1b＜0（∵a＞0）于是－b≥2所以a＋c－1＞－b

5、≥2∴（）2＞1∴＞1于是＋1＞2∴a＞4证法二：设f（x）的两个根为x1，x2，则f（x）＝a（x－x1）（x－x2）f（1）＝a（1－x1）（1－x2）＞1f（0）＝ax1x2＞1由基本不等式x1（1－x1）x2（1－x2）≤[（x1＋（1－x1）＋x2＋（1－x2））]4＝（）2∴≥a2x1（1－x1）x2（1－x2）＞1∴a2＞16∴a＞42.已知f（x）＝x2＋ax＋b（－1≤x≤1），若

6、f（x）

7、的最大值为M，求证：M≥．解：M＝

8、f（x）

9、max＝max{

10、f⑴

11、，

12、f（－1）

13、，

14、f（－）

15、}⑴若

16、－

17、≥1（对

18、称轴不在定义域内部）则M＝max{

19、f（1）

20、，

21、f（－1）

22、}而f（1）＝1＋a＋bf（－1）＝1－a＋b

23、f（1）

24、＋

25、f（－1）

26、≥

27、f（1）＋f（－1）

28、＝2

29、a

30、≥4则

31、f（1）

32、和

33、f（－1）

34、中至少有一个不小于2∴M≥2＞（2）

35、－

36、＜1M＝max{

37、f（1）

38、，

39、f（－1）

40、，

41、f（－）

42、}＝max{

43、1＋a＋b

44、，

45、1－a＋b

46、，

47、－＋b

48、}＝max{

49、1＋a＋b

50、，

51、1－a＋b

52、，

53、－＋b

54、，

55、－＋b

56、}≥（

57、1＋a＋b

58、＋

59、1－a＋b

60、＋

61、－＋b

62、＋

63、－＋b

64、）≥[（1＋a＋b）＋（1－a＋b）－（－＋b）

65、－（－＋b）]＝≥综上所述，原命题正确．1.⑴解方程:（x＋8）＋x＋2x＋8＝0⑵解方程：⑴解：原方程化为（x＋8）＋（x＋8）＋x＋x＝0即（x＋8）＋（x＋8）＝（－x）＋（－x）构造函数f（x）＝x＋x原方程等价于f（x＋8）＝f（－x）而由函数的单调性可知f（x）是R上的单调递增函数于是有x＋8＝－xx＝－4为原方程的解（2）两边取以2为底的对数得于是f（2x）＝f（x2＋1）易证：f（x）世纪函数，且是R上的增函数，所以：2x＝x2＋1解得：x＝11.设f（x）＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f（1）＝1，f（2）

66、＝2，f（3）＝3，求[f（4）＋f（0）]的值．解：由已知，方程f（x）＝x已知有三个解，设第四个解为m，记F（x）＝f（x）－x＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－m）∴f（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－m）＋xf（4）＝6（4－m）＋4f（0