高中数学奥赛辅导函数的基本性质(一)

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1、WORD格式编辑整理江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导函数的基本性质（一）基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》.例题：1.已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)()A.在区间(－2，

2、0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C2.设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤时，f(x)＝x，则f(2003)＝()A.－1B.0C.1D.2003解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)∴f(x)的周期为6f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1选A3.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所

3、有实数根的和为()A.150B.C.152D.提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于×100＝150所有101个根的和为×101＝.选B4.实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x1998＋6sin5y＝______________.解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法(x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0∴x＝si

4、n(xy)且cos(xy)＝0∴x＝sin(xy)＝±1∴siny＝1xsin(xy)＝1原式＝75.已知x＝是方程x4＋bx2专业知识分享WORD格式编辑整理＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________.解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)由已知变形得x－∴x2－2x＋19＝99即x2－80＝2x再平方得x4－160x2＋6400＝76x2即x4－236x2＋6400＝0∴b＝－236，c＝6400b＋c＝61641.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，

5、求证：a＞4.证法一：由已知条件可得△＝b2－4ac≥0①f⑴＝a＋b＋c＞1②f(0)＝c＞1③0＜－＜1④b2≥4acb＞1－a－cc＞1b＜0(∵a＞0)于是－b≥2所以a＋c－1＞－b≥2∴()2＞1∴＞1于是＋1＞2∴a＞4证法二：设f(x)的两个根为x1，x2，则f(x)＝a(x－x1)(x－x2)f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1f(0)＝ax1x2＞1由基本不等式x1(1－x1)x2(1－x2)≤[(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝()2∴≥a2x1(1－x1)x2(1－x2)＞1∴a2专业知识分享WORD格式编

6、辑整理＞16∴a＞41.已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若

7、f(x)

8、的最大值为M，求证：M≥.解：M＝

9、f(x)

10、max＝max{

11、f⑴

12、，

13、f(－1)

14、，

15、f(－)

16、}⑴若

17、－

18、≥1(对称轴不在定义域内部)则M＝max{

19、f⑴

20、，

21、f(－1)

22、}而f⑴＝1＋a＋bf(－1)＝1－a＋b

23、f⑴

24、＋

25、f(－1)

26、≥

27、f⑴＋f(－1)

28、＝2

29、a

30、≥4则

31、f⑴

32、和

33、f(－1)

34、中至少有一个不小于2∴M≥2＞⑵

35、－

36、＜1M＝max{

37、f⑴

38、，

39、f(－1)

40、，

41、f(－)

42、}＝max{

43、1＋a＋b

44、，

45、1－a＋b

46、，

47、－＋b

48、}＝max{

49、

50、1＋a＋b

51、，

52、1－a＋b

53、，

54、－＋b

55、，

56、－＋b

57、}≥(

58、1＋a＋b

59、＋

60、1－a＋b

61、＋

62、－＋b

63、＋

64、－＋b

65、)≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)]＝≥综上所述，原命题正确.2.⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0⑵解方程：⑴解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)构造函数f(x)＝x2001＋x原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x＋8＝－xx＝－4为原方程的解⑵

66、两边取以2为底的对数得专业知识分享WORD格式编辑整理于是f(2x)＝f(x2＋1)易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数，所以：2x＝x2＋1解得