高中数学奥赛辅导系列-三角函数的性质及其变换

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1、三角函数的性质及其变换多年来，三角函数试题在全国高考中的题量及其分数都没有较大的变动，每年的分数一般在二十分左右．试题难度都为中低档题．主要考察的内容有：三角函数的定义和基本关系式．关于今后几年全国高考对三角函数的命题趋向，我们认为：1.试题数量及其分数在试卷中所占比例将基本保持稳定．2.所有试题都是中低档难度试题，而解答题的难度还将略有下降，原因有三个：一是需用时将列出有关公式，这实际上是对解题的关键步骤给出了提示；二是“简单的三角方程”已经改为不作高考要求的选学内容，因而需用解简单的三角不等式的试题将会更加简单；三是新的教

2、学大纲中规定删去了“三角函数中较复杂得恒等变形”，因此，即使在新大纲实施之前，高考命题也会受到它的影响．3.涉及积化和差与和差化积公式的试题在三角试题中的比例将会明显下降，而同时涉及这两组公式的试题已几乎不可能再出现，因此这两组公式已不再是高考的热点．4.倍角公式的变形——半角公式、升幂公式与降幂公式考查的可能性较大，掌握这几个公式对解决一些相对复杂的三角变换有好处．即：sin2α＝，……5.由于解斜三角形需要较多的应用平面几何知识，因而今后几年涉及这一类中的高考题，仍将会像1998年的三角解答题那样，仅限于简单的应用正弦定理

3、和余弦定理．另外，这两个定理也很可能在解答几何或结合实际的应用题中使用．由于的三角解答题的难度已经“略有下降”，因此，今后几年此类试题的难度也将“基本保持稳定”．在本讲的复习中，我们将注意以下几点：1.以小题为主，中低档题为主，并注重三角函数与其他知识的交汇点处的习题．2.适当增大复习题中的求值与求范围的题目的比例．3.对正、余弦定理的应用力求熟练，并避免繁杂的近似计算．本讲分三个部分：第一部分是三角函数的变换，第二部分是三角函数的图像和性质，第三部分是三角形中的三角函数问题，主要是正弦定理和余弦定理的应用．第一部分例1.已知

4、sinθcosθ＝，且，那么cosθ－sinθ的值为（　　）A．B．C．－D．－分析:由于，所以cosθ＜sinθ，于是cosθ－sinθ＝－，选D．例2.若tanθ＝－2，则＝______________提示：将分子中的2θ化为单角，分母中的1用sin2θ＋cos2θ替换，然后分子分母同除以cos2θ即可．结论为．例1.化简(0＜α＜π)提示：将分子分母全部化为的表达式，然后注意0＜，即可得结论：cosα．例2.求tan9°＋cot117°－tan243°－cot351°的值解：原式＝tan9°－tan27°－cot27°＋

5、cot9°＝(tan9°＋cot9°)－(tan27°＋cot27°)例3.已知、∈(0，π)且tan(－)＝，tan＝－，求2α－的值．解：∵＝(－)＋∴tan＝tan[(－)＋]＝∴tan(2－)＝tan[α＋(α－)]＝＝1又∵∈(0，π)，且tan＝－＜0，∴∈(，π)，同理可得∈(0，)∴－π＜2－＜0于是2－＝－．例4.已知θ∈(0，)，sinθ－cosθ＝，求的值．解：由已知得：sin2θ＝，且2θ∈(，π)，∴cos2θ＝－，tanθ＝＝2，带入所求式∴．练习：一、选择题1.若cos2α＝－，且α∈[，π]，则

6、sinα＝（　　）A．B．C．D．提示：注意α是钝角，所以sinα＞0，由半角公式可得：sinα＝，选A．2.已知tan159°＝m，则sin°＝（　　）A．B．C．－D．－解：由已知得tan21°＝－tan159°＝－m°＝－sin21°＝－tan21°cos21°＝－．选B．3.已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝，则tan＝（　　）A．3B．2C．－2D．－3解：由已知cosα＝－，而180°＜α＜270°，∴sinα＝－∴tan＝－3．选D．4.已知tan(α＋β)＝，tan(α－，那么tan(β＋)

7、＝（　　）A．B．C．D．提示：注意到β＋＝(α＋β)—(α－)，则直接使用正切差角公式即可得结论．选B5.若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)，α、β∈(0，π)，则α－β的值为（　　）A．－πB．－C．D．π解：已知等式两边和差化积得：2sin∵0＜α＋β＜2π，∴sin≠0，于是tan又注意到cosβ－cosα＞0，∴β＜α，且β－α∈(－π，π)∴，α－β＝．选D6.已知α∈(0，)，lg(1－sinα)＝m，lg＝n，则lgcosα＝（　　）A．m－nB．m＋C．(m－n)D．(m＋)解：lgcosα＝lg[

8、lg(1－sinα)＋lg(1＋sinα)]＝(m－n)．选C二、填空题1.若(sinθ＋cosθ)2＝2x＋2-x，θ∈(0，)，则tanθ＝_______________解：由三角函数定义(sinθ＋cosθ)2≤2，而由基本不等式2x＋2－x≥2于是只有(sinθ＋co