高中数学奥赛系列辅导资料：赋值法在函数方程中的应用

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1、赋值法在函数方程中的应用赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在函数方程中的应用。一、判断函数的奇偶性例1若（x＋y）＝（x）＋（y）中令x＝y＝0，得（0）＝0。又在（x＋y）＝（x）＋（y）令y＝－x，（x－x）＝（x）＋（－x），即（0）＝（x）＋（－x），又（0）＝0.所以（－x）＝－（x）。由于（x）不恒为零，所以（x）是奇函数。例2已知函数y＝（x）（x∈R，x≠0），对任意非零实数x1x2都有（x1x2）＝（x1）＋（x2），试判断（x）的奇偶性。解：取x1＝－1，x2＝1得（－1）=

2、（－1）＋（1），所以（1）=0又取x1=x2=－1，得（1）=（－1）＋（－1），所以（－1）=0再取x1=x，x2=－1，则有（－x）=（x），即（－x）=（x）因为（x）为非零函数，所以（x）为偶函数。例3．对任意x、y∈R，有（x＋y）＋（x－y）=2（x）·（y），且（0）≠0，判断（x）的奇偶性。解：令x=y=0得（0）＋（0）=22（0），因为（0）≠0，所以（0）=1，又令x=0得（y）＋（－y）=2（y），即（－y）=（y）。取x=y，得（－x）=（y）.所以函数y=（x）。二、讨论函数的单调性例4．设（x）定义于实数集R上，当x＞0时，（x）＞1，且对任意x，

3、y∈R，有（x＋y）=（x）（y），求证（x）在R上为增函数。证明：由（x＋y）=（x）（y）中取x=y=0得（0）=2（0）。若（0）=0，令x＞0，y=0，则（x）=0，与（x）＞1矛盾。所以（0）≠0，即有（0）=1。当x＞0时，（x）＞1＞0，当x<0时，（－x）>1>0，而，又x=0时，（0）=>0，所以（x）∈R，（x）>0。设x10，（x2－x1）>1，所以（x2）=[x1＋（x2－x1）]=（x1）·（x2－x1）>（x1），所以y=（x）在R上为增函数。三、求函数的值域例5已知函数（x）在定义域x∈R＋上是增函数，且满足（xy）=（x）＋（

4、y）（x、y∈R＋），求（x）的值域。解：因为x=y=1时，（1）=2（1），所以（1）=0又因为（x）在定义域R＋上是增函数，所以x1>x2>0时，令x1=mx2（m>1），则（x1）－<（x2）=（m·x2）－（x2）=（m）＋（x2）－（x2）=（m）>0。得以对于x>1有（x）>0。又设x1=mx2>0（0

5、实数a、b∈R，有（a＋b）=2（a）（b），且存在c>0，使，求证（x）是周期函数。证明：令，，代入（a＋b）＋（a－b）=2（a）（b）可得：（x＋c）=－（x）。所以（x＋2c）=[（x＋c）＋c]=－（x＋c）=（x），即（x＋2c）=（x）。则（x）是以2c为周期的函数。例7若对常数m和任意x，等式成立，求证（x）是周期函数。证明：将已知式中的x换成x＋m得（x＋2m）=[（x＋m）＋m]又将上式中x＋2m换成x＋4m可得故（x）是以4m为周期的函数五、求函数的解析式例8设对满足

6、x

7、≠1的所有实数x，函数（x）满足，求（x）的解析式。解：将x取为代入原等式，有，（1）

8、将x取为代入原等式，有。（2）（1）＋（2），且将原等式代入即得例9求函数F（x），当x≠0，x≠1时有定义且满足.解：，（1）中以代换x得（2）再在（1）中以代换x得，（3）（1）－（2）＋（3）化简得.例10（x）的定义域在非负实数集合上并取非负数值的函数，求满足下列所有条件的（x）：（1）[x·（y）]·（x）=（x＋y）；（2）（2）=0；（3）当0≤x<2时，（x）≠0.解：（Ⅰ）令x=2，t=2＋y，由于y≥0，故t≥2。[2（t－2）]·（2）=（t）.由（2）得（2）=0，所以（t）=0.所以当t≥2时，（x）=0.①由（3）的逆命题知：当（x）=0时，x≥2，②

9、综合①、②得，（x）=0x≥2.（Ⅱ）考虑0≤x<2，0≤y<2，（即（x）（y）≠0）时，（1）两边等于零的特殊情况。设[x（（y））（x）=0.因为[x（（y））]（x）=0.由（Ⅰ）得：x（y）≥2，即。设（x＋y）=0，由（Ⅰ）得；x＋y≥2，即x≥2－y，因为，且x≥2－y，所以，解得.所以当0≤x<2时，（x）=.所以例11设S表示所有大于－1的实数构成的集合，确定所有的函数：S→S，满足以下两个条件：（i）对于S内的所有x和y，有[x＋（y）＋x（y）]=y＋（x）