高考数学综合能力题30讲第04讲 三角函数的图象与性质

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1、数学高考综合能力题选讲4三角函数的图象与性质北京中国人民大学附中题型预测我们在中学阶段所学习的函数的各种性质，如单调性、奇偶性、周期性等，在三角函数中都可以得到充分的体现，而且，不仅仅如此，三角函数还具有对称、有界等其他性质．因此，三角函数的图象和性质就成为研究函数性质时的典型例证．从这样一个角度出发，熟练掌握和运用三角函数的图象和性质，不仅是本章的要求，而且有助于我们对函数综合问题有进一步的理解．范例选讲例1已知函数（，且均为常数），（1）求函数的最小正周期；（2）若在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2，试求的值．讲解：研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、

2、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如）、一种三角函数的形式．（1）（其中由下面的两式所确定：）所以，函数的最小正周期为．（2）由（1）可知：的最小值为，所以，．另外，由在区间上单调递增，可知：在区间上的最小值为，所以，=．解之得：点评：三角函数的单调性、周期是本章考察的重点．三角函数的值域经常与二次函数等其它问题综合，考察函数在确定区间上的最值．例1设，试比较=与=的大小关系．讲解观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等．初步判断便可以确定：、

3、都是周期函数，且最小正周期分别为、．所以，只需考虑的情形．另外，由于为偶函数，为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的的范围继续缩小？事实上，当时，>0，恒成立，此时，>．下面，我们只需考虑的情形．如果我们把看作是关于的余弦函数，把看作是关于的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性．至此为止，可以看出：由于和同属于余弦函数的一个单调区间，（即，），所以，只需比较与的大小即可．事实上，（）—=—=所以，利用余弦函数在上单调递减，可得：<．也即<综上，<．点评本题好在充分

4、地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助．是一道很有训练价值的好题．高考真题1．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题:①由f()＝f()＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可以改写成y＝4cos(2x－)；③y＝f(x)的图像关于点(－，0)对称；④y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称.其中正确的命题序号是_________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)2．函数在区间上是增函数，且则函数在上（A）是增函数（B）是减函数（C

5、）可以取得最大值M（D）可以取得最小值3．已知函数，．（1）当函数取得最大值时，求自变量的集合；（2）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？[答案与提示：1.②③2.（C）3.（1）；（2）略．]