高考数学综合能力题30讲第23讲 方案优化型综合问题

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1、数学高考综合能力题选讲23方案优化型综合问题北京中国人民大学附中题型预测寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法．由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现．范例选讲例1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收

2、益最大？最大月收益是多少？讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：．整理得：．所以，当时，最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．例2．某工厂生产容积为立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．(Ⅰ)把制造容器的成本y（元）表示成容器底面半径x（米）的函数，并指出当底面半径为多少时

3、，制造容器的成本最低？求出最低成本；(Ⅱ)若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h，则．所以，．因为，所以，，等号当且仅当，即时取得．(Ⅱ)当时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解的最小值，所以，我们可以考虑函数的单调性．任取，且设，则，由于，所以，，所以，，所以，函数在区间上单调递增．所以，当时，取得最小值为：（元）．点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．例3．小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存0元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：项目1年期2年期

4、3年期5年期年利率1.98%2.25%2.52%2.79%利息税为则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．为叙述方便，用表示把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和．如：表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．首先，可以考虑下面的问题：是否成立？即把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期与先存

5、一次m年期，再存一次n年期，所得本息和是否相同？因为，所以，根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：，，，，．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：（1）比较与的大小关系：因为，，所以，<．所以，只需考虑上述八种情况中的：，，．（2）比较和的大小．，，所以，<．所以，只需比较，，．因为：，，．所以，最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优

6、化的不只是结果，还有运算的过程．高考真题1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（Ⅰ）试规定的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．2．在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出他们的工资标准：

7、A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为元，以后每年月工资在上一年的月工资的基础上递增5％．设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（Ⅰ）若某人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（Ⅱ）该人打算连续在一家公司工作，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择那家公司，为什么？（Ⅲ）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元），并说明理由．[答案与提示：1．（Ⅰ）表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量将保持原样；（Ⅱ）函数