高考数学综合能力题30讲方案优化型综合问题

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1、数学高考综合能力题选讲23方案优化型综合问题100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法．由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现．范例选讲例1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金

2、定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：．整理得：．所以，当时，最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．例2．某工厂生产容积为立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．(Ⅰ)把制造容器的成本y（元）表示成容器底

3、面半径x（米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；(Ⅱ)若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h，则．所以，．因为，所以，，等号当且仅当，即时取得．(Ⅱ)当时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解的最小值，所以，我们可以考虑函数的单调性．任取，且设，则，由于，所以，，所以，，所以，函数在区间上单调递增．所以，当时，取得最小值为：（元）．点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．例3．小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5

4、年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：项目1年期2年期3年期5年期年利率1.98%2.25%2.52%2.79%利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．为叙述方便，用表示把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和．如：表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．首

5、先，可以考虑下面的问题：是否成立？即把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期与先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和是否相同？因为，所以，根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：，，，，．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：（1）比较与的大小关系：因为，，所以，<．所以，只需考虑上述八种情况中的：，，．（2）比较和的大小．，，所以，<．所以，只需比较，，．因为：，，．所以，最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．点评：本题的目的是通

6、过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程．高考真题1．（2001年上海高考题）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（Ⅰ）试规定的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗

7、两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．2．（2003年上海春季高考）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资的基础上递增5％．设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（Ⅰ）若某人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（Ⅱ）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择那家公司，为什么

8、？（Ⅲ）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（