高考数学综合能力题30讲第02讲函数的基本性质

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1、数学高考综合能力题选讲2函数的基本性质北京中国人民大学附中题型预测函数的性质主要包括：函数的单调性、奇偶性和周期性。函数是中学数学的重要内容，函数的性质也是高考考查的重中之重。高考对本部分内容的要求较高，不仅要求熟练掌握这些性质，还要求能够运用定义去证明和判断，以及能够灵活运用这些性质解题。范例选讲例1对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围。讲解不等式很容易让我们联想到二次函数：基于这种认识，本题实质上就是：对于二次曲线系（），考虑使得恒成立的的取值范围。对于每一个给定的，由于的二根分别为，记，，则的解集为：=所以，当在区间上变化

2、时，使得恒成立的的取值范围就是所有的交集。因为，所以，的最大值为3，的最小值为。所以，本题的答案应该为：。上述解法实际上源于我们思维的一种定势，即习惯于把当作变量，而把其余的字母作为参数。而事实上，在上面的不等式中，与的地位是平等的。如果我们换一个角度看问题，即把作为自变量，而把作为参数，则可以得到下面的另一种较为简洁的解法：考虑关于的函数：，可以看到：是关于的一次函数或常数函数，要使得对于满足的一切实数，恒成立，由函数的单调性可知，需且只需：解之得：或。点评（1）不等式与函数有着千丝万缕的联系，通过适当的转化，可以使得问题的表述更接近于我

3、们熟悉的知识，从而得解。（2）注意利用函数的性质解题。（3）注重问题的本质。在熟悉通性通法的同时，也要敢于打破思维定势，换一个角度看问题。例1设是定义在[-1，1]上的偶函数，与的图象关于直线对称。且当时，（1）求函数的表达式；（2）在或的情况下，分别讨论函数的最大值，并指出为何值时，的图像的最高点恰好落在直线上。讲解（1）注意到是定义在区间上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出在区间上的解析式，在区间上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求。当时，，由于与的图象关于直线对称，所以，当时，，由为偶函数，可知：所以，（2）因为为偶函数，所以，

4、（）的最大值，必等于在区间上的最大值。故只需考虑的情形，此时，。对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性。因此，我们不妨在区间上任取，设，则如果,则，故<0，即在区间上单调递增。所以，的最大值在取得，为。令=12可解得：如果，则的符号不能确定，为确定的单调区间，可令<0由于，要使上式成立，只需：，即，由此我们不难得知：在区间上单调递增，在区间上单调递减。（证明略）所以，在区间上的最大值为。令=12，解之得：，与矛盾。综上可知：当时，的最大值为，当时，的最大值为。并且，当时，函数的图像的最高点恰好落在直线上。点评（1

5、）本题中，时，运用单调性去求的最值显然较为复杂。其实，如果我们注意到，且均非负，则可利用基本不等式得到下面较为简洁的解法：等号当且仅当时成立。然而，这种解法并不适用于的情形。也就是说：单调性与基本不等式在处理函数的最值问题时各有所长，对于本题来说，并没有一种普适的方法，只能分而治之。（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上。高考真题1.已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并加以证明。2.设是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用表示区间(2k－1，2k＋1)，已知当时，.①求在上的解

6、析表达式；②对自然数k，求集合＝{a

7、使方程＝ax在上有两个不相等的实根}[答案与提示：1.增函数，证明略。2.①当时，；②对自然数k，集合＝]