高中数学 函数及性质竞赛专题讲座（7）

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1、函数的性质及应用函数的性质不仅是研究各类函数的基础，而且也是利用函数解决数学竞赛问题的主要理论基础，函数的性质包括函数的有界性、对称性、周期性、单调性等。一、有界性定义1设A为函数定义域的子集，若存在常数M，使对所有，都有：（或），则称在A上有上（或下）界，M为它的一个上（或下）界。的所有上界中必然存在最小的，则称这个最小的上界为在A上的上确界，记作：的所有下界中必然存在最大的，则称这个最大的下界为在Ａ上的下确界，记作：若函数在Ａ上既有上界又有下界，则称为Ａ上的有界函数，不难看出，对于Ａ上的有界函数，必存在正数Ｍ，使对所有恒有有界函数的图象介于两条

2、直线之间；在闭区间上连续的函数是有界函数；在中学里，最基本的有界函数是；利用函数的有界性可以处理方程与不等式问题。例1解方程例2设和是定义在R上的实函数，而且对于所有的满足方程：试证：若不恒为零，且对所有的都成立，则有对所有都成立。二、单调性定义2设函数对于，当时，总有：⑴，则称是A上的（严格）增函数；⑵，则称是A上的（严格）减函数。增函数和减函数统称为单调函数。定义有如下两种等价形式：设，那么：①在上是增函数；在上是减函数。②在上是增函数；在上是减函数。单调函数有下面两个常用的性质：定理1如果是A上的单调函数，则与其反函数有相同的单调性。定理2设

3、在集合A上有相同的单调性，则：⑴是单调函数，且与的单调性相同。⑵若在A上恒为正（或负），则是单调函数，且与的单调性相同（反）。定理3若函数在上，在上均为单调函数，的值域为G，且则当和的增减性相同（相反）时，复合函数在定义域上是增（减）函数。定理3可推广为：若讨论的复合函数是有限层的，且每层均有意义，并单调，则其中减函数的层数为偶数时，复合函数是增函数，否则为减函数。例3设正数满足（定值）。试问为何值时，下列函数取到最小值，并求出相应的最小值。⑴；⑵三、周期性定义3设函数的定义域为，若存在非零常数T使满足：⑴对于，有；⑵则称为周期函数，常数T为的一个

4、周期；若在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称为函数的最小正周期。周期函数有如下性质：①定义域至少有一端无界；②一个函数是周期函数，它并不一定有最小正周期，如：（c为常数）；③若T为的周期，则均为的周期；④函数可以没有周期；⑤的图象不一定重复出现，但函数值重复出现；⑥图象重复出现的函数不一定是周期函数。例4判定下列函数的周期性并作出其图象。⑴（或）⑵，其中关于周期性，有以下重要结论：⑴函数是以为最小正周期的周期函数的充要条件为是以T为最小正周期的周期函数。⑵设定义在公共集合上，且分别是以为正周期的函数，（为互质正整数），则，，均是以为

5、周期的函数。证：令（是的公倍数），则：是的周期。以下同理可证。注：⑴本题结论可推广为：设定义在公共集合上，且分别是以为正周期的函数。若两两之比为有理数，则的公倍数T必是这n个函数经和、差、积、商四则运算得到的函数的周期。⑵结论中的“周期”不能改为“最小正周期”。例如：均以为最小正周期，但其和无最小正周期。四、函数的奇偶性定义4设设函数的定义域是关于原点对称的集合，且对有：⑴，则称为偶函数；⑵，则称为奇函数。偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于轴对称。定义5对于定义在实数集R上的函数，若存在常数，使得：⑴或，则称为R上的广义偶函数；⑵或，则称为R

6、上的广义奇函数。当时，即为一般的奇偶函数。广义偶函数许多许多图象关于直线对称；广义奇函数的图象关于点成中心对称。关于函数的对称性，有以下有用的结论：⑴若将函数的图象关于直线对称得到的图象，则的表达式为：⑵若将函数的图象关于点对称得到的图象，则的表达式为：⑶若函数的图象有两条对称轴，或两对称点，则是周期为的函数；推广：若在直线之间再无平行于轴的对称轴，则是的最小正周期。⑷若函数的图象有一条对称轴和一对称点，则是周期为的函数。关于函数的奇偶性，也有以下一些结论：⑴奇函数或偶函数的定义域必须关于原点对称；⑵若是定义域为的奇函数，那么在上，是奇函数，是偶函

7、数，类似的有：“奇奇=奇”，“奇奇=偶”，“偶偶=偶”，“偶偶=偶”，“奇偶=奇”；⑶若是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的；⑷对于复合函数，若为偶函数，则为偶函数；若为奇函数，为奇函数，则为奇函数；若为奇函数，为偶函数，则为偶函数；⑸既为奇函数又为偶函数的函数是存在的，且有无数多个，其函数值均为零，定义域是关于原点对称的区域；⑹如果是偶函数，那么；⑺定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。即：.例4设是定义在R上的实函数，且对满足：试证：是周期函数；当时，举出一个非常值函数的

8、这种函数的例子。该题有更一般的结论：命题1设为大于零的常数，，其中（是的反函数），则为周期等于的周期函数。若是满足条件的最