高中数学竞赛专题讲座---不等式与函数性质的综合应用.doc

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1、不等式与函数性质的综合应用数学竞赛中我们经常遇到这类不等式：函数f(x)在(a,b)连续，x1,x2,x3(a,b)，且x1+x2+x3为定值，求或证明f(x1)+f(x2)+f(x3)的最值。本文将举例给出解决此类问题的方法。首先我们建立以下三个定理。定理1若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，对任意x0(a,b)，不等式成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，给定的对任意x0(a,b)，不等式成立。定理1的几何意义为：设M(x0，y0)为函数f(x)图像上任意一点，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x0，y0)

2、处的切线(如果存在切线)上方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x0，y0)处的切线(如果存在切线)下方。定理2对任意，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，当时，不等式成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，当时，不等式成立。定理2的几何意义为：若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，函数f(x)的图像夹在点M，N之间的部分在过这两点的弦的下方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，函数f(x)的图像夹在点M，N之间的部分在过这两点的弦的上方。定理3函数f(x)在(a,b)上连续，给定的x0(a,b)，若对任意x(

3、a,b)，不等式成立，则当x1,x2(a,b)，且x1+x2=2x0时，f(x1)+f(x2)≥2f(x0)成立；若对任意x(a,b)，不等式成立，则当x1,x2(a,b)，且x1+x2=2x0时，f(x1)+f(x2)≤2f(x0)成立。定理3容易推广到n个变量的情况。利用函数极限的性质与导数的定义，凸函数的定义不难证明这三个定理，本文从略。定理1，2实质是“化曲为直”，利用切线或弦估计函数f(x)的情况。例1已知，求证：证：记，则，而，故上式恒成立。从而，等号再a=b=c是成立。例2已知x，y，z是正实数，且x+y+z=1，求证：(2003湖南省高中数学竞赛试

4、题)证：记（00，证明：证：不仿a+b+c=3，a,b,c,>0，则原不等式等价于.记（0

5、，由定理3知：，等号在a=b=c=1时取到。说明：将本题的结论稍作变形，即可得出另一优美的不等式。（a，b，c），此不等式与本例的不等式均出自《中等数学》数学奥林匹克问题栏目。例4正实数a,b,c满足a2+b2+c2=1.求:的最小值.（加拿大国家集训队训练题，1989）解：令x=a2,y=b2,z=c2，则原题等价于正实数x,y,z满足x+y+z=1.求:的最小值.记函数（0

6、则，现考虑,①为方便，记，则①因为，所以①式成立。从而，即成立。例6已知，求的最大值。解：记，则，所以当时，上凸，恒成立；当时，恒成立，即当时，恒成立。从而，等号再a=b=c是成立。例7设a,b,c为正实数，证明：证：由于齐次性，不妨设a+b+c=3，则问题等价于（0

7、a+b>c>0，故2(a2+b2)≥(a+b)2>c2,从而3=a2+b2+c2〉c2，c2<2，总之≤c2<2，1

8、且x+y+