高中数学复习专题讲座函数图像及图像性质的应用

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1、10、题目高中数学复习专题讲座：函数图像及图像性质的应用高考要求函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质重难点归纳1熟记基本函数的大致图像，掌握函数作图的基本方法(1)描点法列表、描点、连线；(2)图像变换法平移变换、对称变换、伸缩变换等2高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像的题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视典型题例示

2、范讲解例1对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和命题意图本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题知识依托把证明图像对称问题转化到点的对称问题错解分析找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化技巧与方法数形结合、等价转化(1)证明设(x0,y0)是函数y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0),∵=a,　∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，又f(a

3、+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图像上，故y=f(x)的图像关于直线x=a对称(2)解由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，若x1是f(x)=0的根，则4－x1也是f(x)=0的根，∴x0+(4－x0)+x1+(4－x1)=8即f(x)=0的四根之和为8例2如图，点A、B、C都在函数y=的图像上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′

4、、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a)(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论命题意图本题考查函数的解析式、函数图像、识图能力、图形的组合等知识依托充分借助图像信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口错解分析图形面积不会拆拼技巧与方法数形结合、等价转化解(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B=(A′A+C′C)=(),g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=∴f(a)

5、=ax3+bx2+cx+d的图像如图，求b的范围解法一观察f(x)的图像，可知函数f(x)的图像过原点，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图像过(1，0)，∴f(x)=a+b+c　　　①又有f(－1)＜0,即－a+b－c＜0　　　　②①+②得b＜0,故b的范围是(－∞,0)解法二如图f(0)=0有三根0,1,2，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax,∴b=－3a,∵当x>2时，f(x)>0，从而有a>0,∴b＜0学生巩固练习1当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图像只可能是()2某学生离家去学校，由于怕迟到，

6、所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()3已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________三、解答题4如图，在函数y=lgx的图像上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1)(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);(2)判断S=f(m)的增减性5如图，函数y=

7、x

8、在x∈［－1,1］的图像上有两点A

9、、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>)是△ABC的BC边的中点(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标6已知函数f(x)是y=－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图像与函数y=－的图像关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x)(1)求函数F(x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F(x)的图像上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由7已知函数f1(x)=,f2(x)=x+2,(1)设y=f(x)=，试画出y