竞赛专题讲座第三讲函数的图象与性质.doc

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1、函数的图象与性质（数学竞赛讲稿）第三讲函数的图象与性质[知识要点]：1.函数的图象：坐标为的点的集合称为函数的图象，其中是函数的定义域。2.图象变换：平移变换、对称变换3.函数性质：奇偶性、单调性、周期性周期性：对于函数，如果存在一个不为零的正数，使得当取定义域中的每一个数时，总成立，那么称函数为周期函数，正数称为这个周期函数的周期，如果所有周期中存在最小值，称为该函数的最小正周期。[能力训练]1．作出下列函数的图象：（1）解：（1）先作出的图象，然后将此图象在轴下方的部分对称地翻折到轴的上方即可。

2、（2）因是偶函数，其图象关于轴对称，于是我们先作出在≥0时的图象，然后作出它关于轴对称图形即可。2．为何实数时,方程有四个互不相等的实数根。解：将原方程变形为，设，作出其图象，而是一条平行于轴的直线，原方程有四个互不相等的实根，即直线与曲线有四个不同的交点，由图象可知，，即3．已知（a、b；实数）且，则的值是（）（1993年全国高中数学联赛试题）（A）（B）（C）3（D）随a、b取不同值而取不同值解：是奇函数的和，为奇函数，从而即，，选（C）。4．设函数对任一实数满足：且。求证：的根在区间上至少有1

3、3个，且是以10为周期的周期函数。证明：由题设知，函数图象关于直线和对称，所以第2页函数的图象与性质（数学竞赛讲稿），于是在上至少有两个根。另一方面，有,所以是以10为周期的周期函数，因此的根在区间上至少有个要。评述：设函数的定义域为，若对任意的，都有（为常数），则函数图象关于直线对称。1．函数定义在整个实数轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）证明：方程恰有一个解，（2）试举一个具有上述性质的函数的例子。解：（1）设，则（0，）是函数的图象上的点，把该点按同一方向绕原点旋转两次，每次旋转

4、角为，得到的点（0，－），仍在的图象上，所以，=－于是=0，即0。也就是说=0是方程的一个解。另一方面,设=是方程=的一个解,即=，因此点（，）在函数的图象上，它绕原点旋转三个后得到（，－）,且此点也在的图象上,所以==－,=0.从上面的讨论可知,方程恰有一个解=0。（2）构造函数如下：第2页