高考数学复习点拨 圆的方程重点知识梳理

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1、圆的方程重点知识梳理一、知识网络平面直角坐标系中的圆圆的方程的基本形式一般式标准式参数式直线和圆的位置关系相切、相交、相离圆和圆的位置关系相交、外切、内切、外离、内含二、学习目标1．掌握圆的标准方程；能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从圆的标准方程熟练地求出它的圆心和半径；2．掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径；能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；3．理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出远的参数方程，并把它化成圆的普通方程．

2、三、重点内容精析1．在二元二次方程中，x和y的系数相等并且没有xy项，即A=C≠0且B=0只是二元二次方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件，并非充分条件．方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0的曲线是不是圆，要配方使方程具有标准形式以后才能见分晓．2．圆的一般方程的确定，只要求出三个系数D、E、F即可，往往根据条件列出关于D、E、F的三个方程，之后解三元一次方程组求出D、E、F．可见，用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三

3、元二次方程．在用待定系数法求圆的方程时，要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般式．3．圆的标准方程(x－a)＋(y－b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆的方程，须三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．因此，如果圆只满足一个或两个独立条件，这时圆是不确定的，但它们又具有某种共性．例如，方程(x－4)＋(y－1)=r表示圆心在(4，1

4、)的同心圆系；方程(x－a)＋(y＋6)=3表示圆心在y=－6上，且半径为3的圆系．就是说，在圆的方程中含有一个或两个参数，这时就构成了圆系方程，它表示的曲线是一族具有共性的系列圆．4．普通方程与参数方程既有联系又有区别，它们都是表示曲线上任一点的坐标(x，y)满足的关系式，但普通方程只含变量x、y，而参数方程是用第三个参变量表示曲线上的动点的坐标x、y所组成的方程组．在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，可以使有些问题变得容易解决，因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出

5、了曲线上点坐标的特点，这也正是在解有关问题时，将普通方程化为参数方程来解决的原因．当然，在解答有关问题时，根据问题的需要，有时也将参数方程化为普通方程，比如研究有关曲线的性质时，由于我们对普通方程下曲线性质比较熟悉，这时，常把曲线参数方程化为普通方程来研究问题．5．过两圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋F=0，C：x＋y＋Dx＋Ey＋F=0交点的圆系方程为：x＋y＋Dx＋Ey＋F＋(x＋y＋Dx＋Ey＋F)=0，其中≠－1的任意常数，但此圆系不含圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋F=0．当=－1时，(D－D)x＋(

6、E－E)y＋F－F=0，表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．6．直线与圆相交经常要解决下列问题：⑴弦长的求法：①解Rt△，即半径、弦心距、弦长的一般构成Rt△，用勾股定理解；②用弦长公式求解．⑵弦的中点的求法：①由直线方程和圆的方程联立，由韦达定理求之；②解方程组求两直线的交点，即弦所在直线方程和过圆心且垂直于弦的直线方程组成的方程组．四、特别提示：1．用待定

7、系数法求圆的方程要注意两点：第一，究竟用标准方程还是一般方程要根据题设条件选择，选择得当，解法就简捷，选择不当，会增加解答的难度；第二，要注意适时运用几何知识列方程，这样可能大大减少运算量．2．解直线与圆的位置关系问题通常有两种途径：第一条途径是从交点个数，也就是方程组的解的个数来判断，最后归结为一元二次方程判别式定理的应用——当△＞0时，相交；当△=0时，相切；当△＜0时，相离．第二条途径是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断——当d＜r时，相交；当d=r时，相切；当d＞r时，相离．但

8、在具体处理有关直线与圆的位置关系的问题，为避免运算量过大，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；直线与圆的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程．3．至于圆与圆的位置关系，从交点个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．比如两圆只有一个交点时，固然相切，但是外切还是内切就很难分清楚．所以判断两圆的位置关系，通常还是从圆心距d与两圆半径R、r(R＞r)的关系下手．4．圆的参数方程与普通方程互化时需要注意的问题：⑴分清谁是参数以及参