高考数学复习点拨 充要条件中常见题型分类解析]

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1、充要条件中常见题型分类解析一、单一判断型关键是考察给定的两个条件中，分清哪个是条件，哪个是结论后，再判断是“条件Þ结论”还是“结论Þ条件”？由此判断其条件关系.例1已知条件p:

2、x+1

3、＞2,条件q:5x-6＞x2,则Øp是Øq的什么条件？解析：记A={x

4、Øp}={x

5、

6、x+1

7、≤2}={x

8、-3≤x≤1},B={x

9、Øq}={x

10、5x-6≤x2}={x

11、x≥3或x≤2},显然AB，故Øp是Øq的充分而不必要条件.说明：满足条件p所对应的集合与满足条件Øp所对应的集合是互为补集的关系，这里用到了补集的思想.二

12、、多重判断型关键是将所有充分(必要)条件有“Þ”、“Û”和“”表示，画出它们的关系网络图，再找要求的两个条件之间的互推关系.例2已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件，q是s的充要条件，则p是q_____条件.解：由题意画出关系网络图，如右图：∴p是q的必要条件.三、条件证明型关键是要弄清条件和结论之间的关系，分两步证明，即证充分性(由条件推出结论)和必要性(由结论推出条件).例3求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.证明：必要性因为方程ax2+bx+c=0有一个

13、根为-1，所以x=-1适合方程ax2+bx+c=0，即a·(-1)2+b·(-1)+c=0,也就是a-b+c=0.再证充分性因a-b+c=0，所以a·(-1)2+b·(-1)+c=0，也就是x=-1适合方程ax2+bx+c=0，因此方程ax2+bx+c=0有一个根为-1.综上所述，命题得证.说明：必须注意“p是q的充分而不必要条件”与“p的充分而不必要条件是q”这两种语句的区别.前者用数学符号表示即为“pÞq”且“q⇏p”,而后者即为“qÞp且p⇏q”，这两种表达意义相反，必须搞清楚.四、条件探求型探求充要条件

14、问题一般有两种处理方法，一是将题意等价转化化简求得；二是先由题意求出条件，再证明充分性.例4设a、b、c为△ABC的三边，求方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件.解析：先由题意求出条件：设a是两方程的公共根，显然a≠0，则a2+2aa+b2=0…①，a2+2ca-b2=0…②，①+②，得2a2+2a(a+c)=0,∴a=-(a+c),代入①，得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0,即a2=b2+c2,以上求条件的过程事实上就是必要性的证明过程.再证明充分性：∵a2=b2+c2,

15、∴方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2,它的解为x1=-(a+c),x2=c-a,同理方程x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2，它的解为x3=-(a+c),x4=a-c,∵x1=x3,∴方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述得，方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.五、条件应用型此类题型主要是根据两个条件的条件关系，探求满足条件的相关知识.例5已知p:x2-8x-,q:

16、x-1

17、≤m,求m的取值范

18、围，使p为q的必要条件.解析：记A={x

19、p},B={x

20、q}，要使p为q的必要条件只要BÍA，而A={x

21、-2≤x≤10}.(1)当m＜0时，B=Æ，满足BÍA.(2)当m≥0时，B={x

22、1-m≤x≤m+1},要使BÍA，只要1-m≥-2且1+m≤10，解得0≤m≤3.综合(1)(2)知，当m≤3时，p为q的必要条件.例6已知p:

23、1﹣

24、≤2,q:x2-2x＋1-m2≤0(m＞0),若┐p是┐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.解：由

25、1﹣

26、≤2，得-2≤x≤10,∴┐p:x∈A={x

27、x＜-2或x＞

28、10},由x2-2x+1-m2≤0，得1-m≤x≤1+m(m＞0),∴┐q:x∈B={x

29、x＜1-m或x＞1+m}(m＞0),由┐p是┐q的必要而不充分条件，即┐pÞ┐q知AÊBÞ故m≥9为所求的范围.