高考数学总复习第二讲：分类讨论

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1、高考数学总复习第二讲：分类讨论分类又称逻辑划分．分类讨论即是一种数学思维方法，也是一种重要的解题策略，常常能起到简化问题、解决问题的作用．    数字的解题过程，实质是一个变形过程，往往需要一些条件的限制，从而引起分类讨论．    分类讨论的关键问题就是：对哪个变量分类，如何分类．    分类的原则：由分类的定义，分类应满足下列要求：    （1）保证各类对象即不重复又不遗漏．    （2）每次分类必须保持同一分类标准．    应用分类讨论解决数学问题的一步骤：    （1）确定讨论对象和需要分类的全集．（2

2、）确定分类标准（3）确定分类方法（4）逐项进行讨论（5）归纳小结    应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单．一、例题分析例1：求函数求的值域． 分析：根据绝对值的定义        及题设中函数的表达式可知，要分别对绝对值号中的sinx,cosx,tgx,ctgx按照其大于零，小于零（不能为零）来讨论

3、，以去掉绝对值号．而决定三角函数值正负的因素是角x所在的象限，故按角x的终边所在的象限为分类标准，进行分类讨论：    解（1）角x在第一象限时，        （2）角x在第二象限时，        （3）角x在第三象限时，        （4）角x在第四象限时，        综上所述：函数的值域{4，0，-2}     说明：数学中的概念有些是含有不同种类的，当题目涉及这样的概念时，必须按给出概念的分类方式进行分类讨论，才能使解答完整无误．    例2，已知扇形的圆心角为60°，半径为5cm，求这个扇形

4、的内接长方形的最大面积．图    解：如图一，内接长方形CDEF的面积为：S=ED·EF，ED=OE·sinθ=5sinθ在△EFO中，运用正弦定理，得    ∴        ∴        ∴       如图二．取的中点M，连接OM分扇形为两个小扇形，在这二个小扇形中，各有原内接长方形的一半，∴内接长方形的面积为一个小扇形中内接长方形面积的2倍．    即        ∴      再比较S大与S大′的大小          综上，所求扇形的最大内接长方形的面积为．    说明：本题是由图形的位置及

5、形状不能确定引起的分类讨论，其原因在于扇形内接长方形相对于扇形的位置不确定，故而求出两种位置下的面积而后判断最大为多少．    例3已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C，x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与

6、MQ

7、的比等于常数λ（λ＞0）求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．  解如图，设直线MN切圆O于N，则动点M组成的集合是    P={M

8、

9、MN

10、=λ

11、MQ

12、}(其中λ>0)     ∵圆半径

13、ON

14、=1，∴

15、MN

16、2=

17、MO

18、2-

19、ON

20、2=

21、MO

22、2-1     设点M的坐标为（x，y），则 

23、       整理得：检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程．    当λ=1时，方程化为，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点    当λ≠1时，方程化为    它表示圆，该圆圆心的坐标为，半径为    说明：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论为，求得问题的结果．    例4已知a＞1，解关于x的不等式：     解：原不等式            （i）当1＜a＜2时

24、，由①得：x＜a或x＞2       ∵         ∴又∵ ∴         ∴解集为    （ii）当a=2时，由①得x≠2，由③得    ∴解集为    （iii）当a＞2时，由①得，x＜2或x＞a      ∵       ∴解集为    说明：本题中参数a，在求解集过程中，不同的取值，影响解集，故而要分类讨论，这是变形所需．    例5某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c元；若用水量超过am3时，除了付给同上的

25、基本费和排污费外，超过部分每方米付b元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：    解：设每月用水量为xm3，支付费用为y元．    则月份用水量（m3）水费（元）1892151931315      由题意知0＜c≤4，8+c≤12．    故第2、3月份用水量15am3,13am3大于最低用水限量am3       将分别代入中，得