高考数学二轮复习：第18讲　分类讨论思想

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1、数学思想方法　分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．分类原则：(1)所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3)对多级讨论，应逐级进行，不能越级．讨论的基本步骤：(1)确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2)确定分类的标准，进

2、行合理的分类；(3)逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4)总结概括，得出结论．引起分类讨论的常见因素：(1)由概念引起的分类讨论；(2)使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3)由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．简化和避免分类讨论的优化策略：(1)直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2)变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3)合理运算．如利用函数奇偶性、变量

3、的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4)数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．注：能回避分类讨论的尽可能回避．1.一条直线过点(5,2)且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为________．2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.3.函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数a的取值范围是________．4.数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋n－1(n∈N*)，则其通项an＝________.

4、【例1】　在△ABC中，已知sinB＝，a＝6，b＝8，求边c的长．10【例2】　解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．【例3】　设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2，…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.【例4】　已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实

5、数λ的取值范围．101.(2009·全国)双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．2.(2011·辽宁)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．3.(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．4.(2010·福建)函数f(x)＝的零点个数为________．5.(2011·江西)设f(x)＝x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5

6、，求f(x)的解析式；(2)如果m＋n<10(m，n∈N＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)6.(2010·江苏)设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)>0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．设函数f(x)＝lnx＋(x>1)，其中b为实数．(1)求证：函数f(x)具有性质P(b);(2)求函数

7、f(x)的单调区间．(2011·南通)(本小题满分16分)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c,2Sn＝anan＋1＋r.(1)若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由．(2)设Pn＝＋＋…＋，Qn＝＋＋…＋，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式－n

8、an－1an＋r，②①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2.(3分)则a1，a3，a5，…，a2n－1，…成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．a2，a4，a6，…，a2n，…成公差为2的等差数列，a2n＝a2＋2(n－1)．要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1.即2－－c＝1，r＝c－c2.(4分)∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，得c＝－2或3.∵当c＝－2时，a3＝0不合题意，舍去