高考数学二轮复习:第18讲 分类讨论思想

高考数学二轮复习:第18讲 分类讨论思想

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1、数学思想方法 分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学策略.分类原则:(1)所讨论的全域要确定,分类要“既不重复,也不遗漏”;(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行;(3)对多级讨论,应逐级进行,不能越级.讨论的基本步骤:(1)确定讨论的对象和讨论的范围(全域);(2)确定分类的标准,进

2、行合理的分类;(3)逐步讨论(必要时还得进行多级分类);(4)总结概括,得出结论.引起分类讨论的常见因素:(1)由概念引起的分类讨论;(2)使用数学性质、定理和公式时,其限制条件不确定引起的分类讨论;(3)由数学运算引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;(5)对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论.简化和避免分类讨论的优化策略:(1)直接回避.如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论;(2)变更主元.如分离参数、变参置换等可避开讨论;(3)合理运算.如利用函数奇偶性、变量

3、的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论;(4)数形结合.利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论.注:能回避分类讨论的尽可能回避.1.一条直线过点(5,2)且在x轴,y轴上截距相等,则这直线方程为________.2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为________.3.函数f(x)=的定义域为一切实数,则实数a的取值范围是________.4.数列{an}的前n项和为Sn=2n2+n-1(n∈N*),则其通项an=________.

4、【例1】 在△ABC中,已知sinB=,a=6,b=8,求边c的长.10【例2】 解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).【例3】 设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,…).(1)求q的取值范围;(2)设bn=an+2-an+1,记{bn}的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小.【例4】 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.(1)求函数g(x)的解析式;(2)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实

5、数λ的取值范围.101.(2009·全国)双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,则该双曲线的离心率为________.2.(2011·辽宁)设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.3.(2011·江苏)已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.4.(2010·福建)函数f(x)=的零点个数为________.5.(2011·江西)设f(x)=x3+mx2+nx.(1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5

6、,求f(x)的解析式;(2)如果m+n<10(m,n∈N+),f(x)的单调递减区间的长度是正整数,试求m和n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a)6.(2010·江苏)设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).设函数f(x)=lnx+(x>1),其中b为实数.(1)求证:函数f(x)具有性质P(b);(2)求函数

7、f(x)的单调区间.(2011·南通)(本小题满分16分)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=c,2Sn=anan+1+r.(1)若r=-6,数列{an}能否成为等差数列?若能,求c满足的条件;若不能,请说明理由.(2)设Pn=++…+,Qn=++…+,若r>c>4,求证:对于一切n∈N*,不等式-n

8、an-1an+r,②①-②,得2an=an(an+1-an-1).∵an≠0,∴an+1-an-1=2.(3分)则a1,a3,a5,…,a2n-1,…成公差为2的等差数列,a2n-1=a1+2(n-1).a2,a4,a6,…,a2n,…成公差为2的等差数列,a2n=a2+2(n-1).要使{an}为等差数列,当且仅当a2-a1=1.即2--c=1,r=c-c2.(4分)∵r=-6,∴c2-c-6=0,得c=-2或3.∵当c=-2时,a3=0不合题意,舍去

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