高考数学二轮复习专题八第2讲分类讨论思想转化与化归思想案文

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1、第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一　分类讨论思想的应用应用1　由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】　(1)若函数f(x)＝ax(a>

2、0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________；(2)在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.解析　(1)若a>1，有a2＝4，a－1＝m，解得a＝2，m＝.此时g(x)＝－为减函数，不合题意.若0

3、答案　(1)　(2)或6探究提高　1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分01两种情况讨论.2.利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的.【训练1】　(1)(2017·长沙一中质检)已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为(　　)A.8B.10C.16D.32(2)函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值的集合是________.解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.因为Sn＝2

4、an－2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，两式相减得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，则S5－S4＝a5＝25＝32.(2)f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.当－1

5、·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足

6、PF1

7、∶

8、F1F2

9、∶

10、PF2

11、＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________.解析　(1)由于e＝＝，∴＝＝，则a2＝3b2，若双曲线焦点在x轴上，渐近线方程y＝±x.若双曲线焦点在y轴上，渐近线方程y＝±x.(2)不妨设

12、PF1

13、＝4t，

14、F1F2

15、＝3t，

16、PF2

17、＝2t，其中t≠0.若该曲线为椭圆，则有

18、PF1

19、＋

20、PF2

21、＝6t＝2a，

22、F1F2

23、＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若该曲线为双曲线，则有

24、PF1

25、－

26、PF2

27、＝2t＝2

28、a，

29、F1F2

30、＝3t＝2c，e＝＝＝＝.答案　(1)y＝±x，或y＝±x　(2)或探究提高　1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】　设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且

31、PF1

32、>

33、PF2

34、，则的值为________.解析　若∠PF2F1＝90°.则

35、PF1

36、2＝

37、PF2

38、2＋

39、F1F2

40、2，又因为

41、PF1

42、＋

43、PF2

44、＝6，

45、F1F2

46、＝2，解得

47、PF1

48、＝，

49、PF

50、2

51、＝，所以＝.若∠F1PF2＝90°，则

52、F1F2

53、2＝

54、PF1

55、2＋

56、PF2

57、2，所以

58、PF1

59、2＋(6－

60、PF1

61、)2＝20，所以

62、PF1

63、＝4，

64、PF2

65、＝2，所以＝2.综上知，＝或2.答案　或2应用3　由变量或参数引起的分类讨论【例3】　已知f(x)＝x－aex(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解　(1)f′(x)＝1－aex，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(