高考数学二轮复习专题八数学思想方法与高考数学文化第2讲分类讨论思想转化与化归思想课件文.ppt

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1、第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.探究提高1.指数函数、对数函数的单调性

2、取决于底数a,因此,当底数a的大小不确定时,应分01两种情况讨论.2.利用等比数列的前n项和公式时,若公比q的大小不确定,应分q=1和q≠1两种情况进行讨论,这是由等比数列的前n项和公式决定的.解析(1)当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2.因为Sn=2an-2,当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,两式相减得,an=2an-2an-1,即an=2an-1,则数列{an}为首项为2,公比为2的等比数列,则S5-S4=a5=25=32.探究提高1.圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲

3、线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)=x-aex(a∈R,e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.解(1)f′(x)=1-aex,当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)是(-∞,+∞)上的单调递增函数;当a>0时,由f′(x)=0得x=-lna,所以函数f(x)在(-∞,-lna)

4、上的单调递增,在(-lna,+∞)上的单调递减.探究提高1.(1)参数的变化取值导致不同的结果,需对参数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在,涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一,层次分明,分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2

5、时,求a的取值范围.探究提高1.一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题,如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.应用2函数、方程、不等式之间的转化【例5】已知函数f(x)=3e

6、x

7、,若存在实数t∈[-1,+∞),使得对任意的x∈[1,m],m∈Z且m>1,都有f(x+t)≤3ex,试求m的最大值.解∵当t∈[-1,+∞)且x∈[1,

8、m]时,x+t≥0,∴f(x+t)≤3ex⇔ex+t≤ex⇔t≤1+lnx-x.∴原命题等价转化为:存在实数t∈[-1,+∞),使得不等式t≤1+lnx-x对任意x∈[1,m]恒成立.令h(x)=1+lnx-x(1≤x≤m).探究提高1.函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.探究提高1.第(1)题是正与反的转化,由于不

9、为单调函数有多种情况,先求出其反面,体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从后面考虑较简单,因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x的函数转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的参数,将其看作是“主元”,而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a

10、的值,都有g(x)<0,则实数x的取值范围为________.1.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思想,降低问题难度.常见的分类讨论问题:(1)集合:注意集合中空集∅讨论.(2)函数:对数函数或指数

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