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时间:2018-05-03
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1、高考数学总复习第二讲:分类讨论分类又称逻辑划分.分类讨论即是一种数学思维方法,也是一种重要的解题策略,常常能起到简化问题、解决问题的作用. 数字的解题过程,实质是一个变形过程,往往需要一些条件的限制,从而引起分类讨论. 分类讨论的关键问题就是:对哪个变量分类,如何分类. 分类的原则:由分类的定义,分类应满足下列要求: (1)保证各类对象即不重复又不遗漏. (2)每次分类必须保持同一分类标准. 应用分类讨论解决数学问题的一步骤: (1)确定讨论对象和需要分类的全集.(2
2、)确定分类标准(3)确定分类方法(4)逐项进行讨论(5)归纳小结 应该注意的是,在运用时,不要盲目或机械地进行分类讨论,有的题目虽然含有分类因素,但不要急于分类讨论,要首先对问题作深入的研究,充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系,寻求正确的解题策略,则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论,使解题更简单.一、例题分析例1:求函数求的值域. 分析:根据绝对值的定义 及题设中函数的表达式可知,要分别对绝对值号中的sinx,cosx,tgx,ctgx按照其大于零,小于零(不能为零)来讨论
3、,以去掉绝对值号.而决定三角函数值正负的因素是角x所在的象限,故按角x的终边所在的象限为分类标准,进行分类讨论: 解(1)角x在第一象限时, (2)角x在第二象限时, (3)角x在第三象限时, (4)角x在第四象限时, 综上所述:函数的值域{4,0,-2} 说明:数学中的概念有些是含有不同种类的,当题目涉及这样的概念时,必须按给出概念的分类方式进行分类讨论,才能使解答完整无误. 例2,已知扇形的圆心角为60°,半径为5cm,求这个扇形
4、的内接长方形的最大面积.图 解:如图一,内接长方形CDEF的面积为:S=ED·EF,ED=OE·sinθ=5sinθ在△EFO中,运用正弦定理,得 ∴ ∴ ∴ 如图二.取的中点M,连接OM分扇形为两个小扇形,在这二个小扇形中,各有原内接长方形的一半,∴内接长方形的面积为一个小扇形中内接长方形面积的2倍. 即 ∴ 再比较S大与S大′的大小 综上,所求扇形的最大内接长方形的面积为. 说明:本题是由图形的位置及
5、形状不能确定引起的分类讨论,其原因在于扇形内接长方形相对于扇形的位置不确定,故而求出两种位置下的面积而后判断最大为多少. 例3已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C,x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与
6、MQ
7、的比等于常数λ(λ>0)求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线. 解如图,设直线MN切圆O于N,则动点M组成的集合是 P={M
8、
9、MN
10、=λ
11、MQ
12、}(其中λ>0) ∵圆半径
13、ON
14、=1,∴
15、MN
16、2=
17、MO
18、2-
19、ON
20、2=
21、MO
22、2-1 设点M的坐标为(x,y),则
23、 整理得:检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P,故这个方程为所求的轨迹方程. 当λ=1时,方程化为,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于点 当λ≠1时,方程化为 它表示圆,该圆圆心的坐标为,半径为 说明:本题在求出轨迹方程之后,在判定为何曲线时,因参数引起了分类讨论:一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数,从而需对参数分情况讨论为,求得问题的结果. 例4已知a>1,解关于x的不等式: 解:原不等式 (i)当1<a<2时
24、,由①得:x<a或x>2 ∵ ∴又∵ ∴ ∴解集为 (ii)当a=2时,由①得x≠2,由③得 ∴解集为 (iii)当a>2时,由①得,x<2或x>a ∵ ∴解集为 说明:本题中参数a,在求解集过程中,不同的取值,影响解集,故而要分类讨论,这是变形所需. 例5某城市用水收费方法是:水费=基本费+超额费+排污费,若每月水量不超过最低限量am3时,只付基本费8元和每户每定额排污费c元;若用水量超过am3时,除了付给同上的
25、基本费和排污费外,超过部分每方米付b元的超额费.已知每户每月的排污费不超过4元,该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示: 解:设每月用水量为xm3,支付费用为y元. 则月份用水量(m3)水费(元)1892151931315 由题意知0<c≤4,8+c≤12. 故第2、3月份用水量15am3,13am3大于最低用水限量am3 将分别代入中,得
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