高考数学复习点拨 函数y=asin(_x__)模型的应用

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1、函数y=Asin(x+)模型的应用三角学产生的起因是人们对三角形中的角和边进行精确的测量与计算，后来逐渐发展为定义在实数集上的三角函数，使得三角函数有了相当广泛的应用.其应用不仅在简谐运动、交流电、单摆等方面，许多有节律变化的自然现象，都可以用三角函数模型来模拟，在生物、天文、地理、机械等方面都有其应用,下面介绍两例.应用1.模型与昆虫种群数量例1．生活在地球上的各种生物种群的密度并非固定不变的，同一物种由于受环境、气候和食物、被捕食及生死、迁入、迁出等因素的影响，种群的数量会发生变化．某种昆虫种群的数量在1月1日低至70

2、0只，而在当年7月1日却高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．(1)求出该种昆虫的种群数量y与时间t的函数解析式；(t以月为单位）(2)画出昆虫种群数量y与时间t的函数的图象．分析:根据题意，可用待定系数法设出y与时间t的函数解析式，然后利用已知数据，求得该函数的解析式．解:(1)设所求的函数解析式为y=Asin(t+)+B,则B==800，A=100，且周期T=12，∴ω=.此时y=100sin(t+)+800又因为函数的图象过点(0，700)，所以有100sin(×0+)+800=700，∴sin=

3、-1，=,k∈Z,取其绝对值最小的，故=-.因此函数的解析式为y=100sin(t-)+800.(2)由于函数y=100sin(t-)+800cost+800.通过取值列表，可得图象如下：应用2.模型与历法例2.估计某一天的白昼时间的小时数D（t）的表达式是：D（t）=sin（t－79）＋12，其中t表示某天的序号，t=0表示1月1日，依次类推，常数k与某地所处的纬度有关.   （１）在波士顿，k=6，试画出函数当0≤t≤365时的图象；   （２）在波士顿哪一天的白昼时间最长？哪一天的最短？   （３）估计在波士顿一年中

4、有多少天的白昼超过10.5小时.   解：（１）先用“五点法”作出f（t）= 3sin（t－79）的简图，如下图，   由sin（t－79）=0，可解得t=79及t=444.   列表如下：         若t=0，   f（0）=3sin（－79）≈3sin（－1.36）=－2.9.   因为f（t）的周期为365，所以f（365）=－2.9.   将f（t）在［0，365］上的图象向上平移12个单位，就得到Ｄ（t）的图象.   （２）白昼时间最长的一天，即Ｄ（t）取最大值的一天，此时t=170，对应的是6月闰年除外）

5、.类似地，t=353时，D（t）取最小值，即12月昼时间最短.   （３）Ｄ（t）＞10.5，   即3sin（t－79）＋12＞10.5，   sin（t－79）＞－，t∈［0，365］，   ∴　49＜t＜292，   由于292－49=243，所以约有243天的白昼时间超过10.5小时.   点评:理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，用相关的数学知识解答，是解决实际问题的关键.