高考数学复习点拨 有关函数模型的应用问题.doc

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1、有关函数模型的应用问题数学应用问题中函数模型方面的问题占大多数，弄清它们的实际背景有助于我们提高解决实际问题的能力.1．成本和利润问题例1、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿平均售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价与种植成本的单位：元/102㎏，时间

2、单位：天）分析：这是一道需通过图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，要注意分段函数的特点.解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为（2）设时刻的纯收益为，则由题意得=，即=①当时，配方整理得=所以，当时，取得区间[0，200]上的最大值100；②当时，配方整理得=所以，当时，取得区间（200，300）上的最大值87.5综上，由可知，在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.说明：解成本与利润问题应弄清成本的构成及

3、利润的计算式子，而对于最值的求解还应注意函数的特点，此题要由分段函数分别求最值才能得出正确结果.2．有关运费问题例2、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域.（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这也是一道需建立函数关系求最值的问题，注意文字语

4、言转化为数学语言.解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有，当且仅当，即时等号成立.若，则当时，全程运输成本最小；当，当时，有因为，且，故有故有，当且仅当时等号成立.即当，全程运输成本最小.综上知，为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为.说明：此题函数关系的建立需从题目的文字语言中寻找，而求最值又要用到求函数最值的一些方法，如不等式法、函数单调性法.3．经济问题的一些最值问题例3、20个劳动力种50亩地，

5、这些地可种蔬菜，棉花、水稻，这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表，应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？作物劳力/亩产值/亩蔬菜0.6万元棉花0.5万元水稻0.3万元解：设种x亩水稻0＜x≤50，y亩棉花0≤y＜50时，总产值为h且每个劳力都有工作∴且x、y满足即，4≤x≤50，欲使h为最大，则x应为最小，故当x=4（亩）时，万元，此时y=24（亩），故安排：1人种4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时农作物产值最高且每个劳力都有工作.说明：题中显示“产值

6、最高”的语句，属于函数类问题，应从构造有关产值的函数关系入手.4．建筑造价最值问题例4、某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m2的厂房（不考虑墙高），工程造价是：（1）修1米旧墙费用是造1米新墙费用的25%；（2）拆去1米旧墙用所得的材料来建1米新墙的费用是建1米新墙费用的50%，问如何利用旧墙才能使建墙费用最低。解：设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14－x(m)修新墙，所以设建一米新墙费用为a，则有修旧墙的费用为拆旧墙的费用为建新墙的费用为所

7、以总费用为≥当且仅当，即x=12时，等式成立，故保留12m旧墙总费用最低.说明：了解建筑造价上的一些实际背景有助于建立该问题的函数.