高考数学复习点拨 简单的规划求范围类型分析

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1、简单的规划求范围类型分析　　线性规划是直线方程的应用，它研究的线性目标函数在线性约束条件下取最大或最小值的问题．但是我们所遇到的目标函数不仅仅有线性的还有非线性的，对于非线性目标函数我们可以参照线性目标函数来求解．我们经常遇到的目标函数有三类：分式类型：；二元一次类型：；二元二次类型：．下面我们来分类解析这三类型的目标函数在解题中的应用．一、分式类型：求范围根据式子的结构联想斜率公式，表示动点与定点连线的斜率，看成点绕着点旋转形成的无数条直线的斜率的取值范围．例1求在约束条件下，的值域．解析：作出约束条件下的可行域，如图1所示，表示定点与动点连线的斜率，动点运动的范围是图1中的阴影

2、部分，很明显，当点与点重合时斜率最小；当点与点重合时斜率最大．由于的坐标分别为，于是，，故的值域是．二、二元一次类型：求范围将转换为直线方程的截距式：，若求的范围，即求纵截距“”或横截距“”的范围即可．例2设为平面上以三点为顶点的三角形区域（包括边界及内部），试求在上变动时，函数的最大值和最小值．分析：连接三点，画出平面区域，表示动点的活动范围，按线性规划的方法求解．解：求的最值，相当于求直线中纵截距的最值．显然，最大时最小，最小时，最大．如图2所示，直线过点时，纵截距最大为6．；直线过点时，最小为，．的最大值为14，最小值为．点评：线性规划问题一般用图解法，注意图形要相对准确，否

3、则答案易出错．一、二元二次类型：求范围　　将看成动点与定点两点连线的距离的平方，即．例1求的最大值和最小值，且式中的满足约束条件分析：的表达式不是线性的，所以这道题不是线性规划问题，但可以参照线性规划的解题思路来分析．若把看作点到点的距离的平方，则问题转换成：可行域内的点到点的距离的平方的最大与最小值问题．解：在直角坐标系中作不等式组所表示的可行域，如图3所示．设点为可行域内一动点，观察图形可知，当动点运动到点时，取得最大值，此时，又点到直线的距离为，．点评：本题的关键是给出目标函数的实际意义．也可将目标函数看作是以点为圆心，为半径的圆，转换为圆与可行域有公共点的问题．