高考数学复习点拨 几何概型中的交汇问题

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1、几何概型中的交汇问题几何概型与其它知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题的一个重要的着眼点，体现高考中考查能力的立意及在知识交汇处命题的原则，所以这类题应引起同学们的注意。一、几何概型与方程交汇例1设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0。⑴若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。⑵若a是从区间[0.3]任取得一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率。分析：对于⑵，试验中所有可能出现的基本事件有无限多个，故符合几何概型，可运用公式P（A）=求解。解：⑴设事件A为“方程x2+2ax+b2

2、=0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b。基本事件有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个表示a的取值，第二个表示b的取值。事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A）==。⑵试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）

3、0≤a≤3，0≤b≤2}。构成事件A的区域为{（a，b）

4、0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，如图1，所以所求的概率为P（A）==。点评：本题将几何概型与方程及不等式交汇在一起，解题时应综合运用相应的知

5、识进行转化，同时数形结合，有利于直观、准确求解。二、几何概型与集合交汇例2已知集合M={（x，y）

6、x+y≤8，x≥0，y≥0}，N={（x，y）

7、x-3y≥0，x≤6，y≥0}，若向区域M随机投一点，则点P落入区域N的概率为（）（A）（B）（C）（D）分析：根据题设中的集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M和N，可分别计算区域M和N的面积，进而求解。解：将集合M和N所表示的区域在直角坐标系中画出，如图2，则区域M的面积等于S=×8×8=32，区域N的面积等于S/=×6×2=6，所以点P落入区域N的概率为P==，故选（D）。点评：本题以集合为载体考查了几何概型的概率求法，解题的关键

8、是根据题设中的集合元素的意义准确画出M和N所表示的区域。三、几何概型与立体几何交汇例3（安徽省皖南八校高三第二次联考）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（）（A）（B）（C）（D）分析：P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率。解：P==，故选（D）。点评：解题时要注意使用“几何概型”的条件。一般地，体积型概率P（A）=。