高考数学复习点拨 知识交汇处的圆锥曲线问题.doc

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1、知识交汇处的圆锥曲线问题例　已知常数，在矩形中，为中点，点分别在上移动，且，为与的交点（如图1）．部是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值？若不存在，请说明理由．分析：本题是一道轨迹题，用交轨法求P点的轨迹，是隐含其中的问题，并且藏而不漏．该问题是以是否存在性方式提出寻找两定点和为定值问题，根据两定点的距离之和为定值的点的集合为椭圆，从而该题即为“是否存在这样的常数a，使点P的轨迹为椭圆”．此题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质及曲线与方程关系等解析几何的基本

2、思想和综合解题能力．在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想并且应用了构造法．题目中点E、F、G、P都在运动，其中点P是由于点E、F、G的运动而生成，通过设比值为，求出动点E、F、G、P的坐标，消去参数，就可以得到动点P的轨迹方程．另一种解题思路通过设出动点坐标，求出相应的直线方程，然后再根据三点共线求得动点P的轨迹方程．求解此类问题的一般方法是，可先求出动点的轨迹方程，然后根据其定义和性质进行存在性的探索．如果推导出的结论符合曲线的定义或性质，就可认定结论成立，否则就可否定结论成立．　　解：由题意，．　　设，　　

3、则，，．　　设，则有，则有，．由，得，由，得，由以上两式中消去参数，得点的坐标应满足方程．3用心爱心专心整理，得．（1）当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．　　（2）当时，点的轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离和为定长．　　①当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值．　　②当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值．　　评析：本题把动点轨迹问题，数学建模问题，分类讨论问题等几个难点以是否存在的形式有机地结合在一起，立意新颖，思路宽阔．若将已知条件作局部变换，即将E，F，G三个主动点改变，则点P的轨迹亦将

4、随之改变，这样，就可以建立起一张曲线联系网．结论一：若将题中所给条件“”改为“”（如图2）．为与的交点．问是否存在两个定点，使到这两点的距离之差为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值？若不存在，请说明理由．　　分析：若设，得点满足方程，显然点的轨迹为双曲线的一部分．即存在两定点，，使得点到这两点的距离之差的绝对值为定值．　　结论二：若将题中所给条件“”改为“”（如图3）．为与的交点．问是否存在一定点和一定值值，使点到该定点和定直线的距离相等？若存在，求出这点的坐标及该直线的方程？若不存在，请说明理由．　　分析：若

5、设，得点满足方程3用心爱心专心，显然点的轨迹为抛物线的一部分．即存在定点和定直线，使点到该定点和定直线的距离相等．　　结论三：若将题中所给条件“”改为“”（如图4）．为与的交点．问是否存在一定点和一定直线，使点到该定点和定值的距离相等？若存在，求出这点的坐标及该直线的方程？若不存在，请说明理由．　　分析：若设，得点满足方程，，显然点轨迹为抛物线的一部分．即存在定点和定直线，使点到该定点和定直线的距离相等．　　整个问题围绕解析几何的基本问题“由曲线求方程或由方程研究曲线”设问、展开，并将两个问题紧密地结合在一起，无论

6、是题设的给出还是思维方式的考查都很新颖．利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新内容与传统内容的联系，打破了学生的思维定势．3用心爱心专心