高三数学复习 中档题训练题14

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1、中档题训练141．在袋里装30个小球，其中彩球中有n(n≥2)个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球．若从袋里取出3个都是相同颜色彩球(无白色)的概率是，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．解：取3个球的方法数为2分设“3个球全红色”为事件A，“3个全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C，则，4分　∵A、B、C为互斥事件∴P(A＋B＋C)=P(A)＋P(B)＋P(C)　　即ÞP(A)＝06分　　∴红球的个数≤2，又∵n≥2，故n＝28分记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红球”2．如图，在矩形A

2、BCD中，AB＝，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．(1)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；　　(2)当BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求异面直线AQ与PD所成角的大小；　　(3)若a＝4，且PQ⊥QD，求二面角A－PD－Q的大小．ABCDQP解：方法一　　(1)解：以为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则　　B(0，，0)，C(－a，，0)，D(－a，0，0)，P(0，0，4)2分设Q(t，，0)，则　＝(t，，－4)，＝(t＋a，，0)∵PQ⊥QD，∴＝0　　即t2＋at＋3＝0　　①　　∴△＝a2－12≥0　Þ

3、　a≥2．4分(2)解：∵BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD，∴△＝a2－12＝0　Þ　a＝2，t＝－6分　　＝(－，，0)，＝(－2，0，－4)　　∴cos　　故异面直线AQ与PD所成角为arccos．8分(3)解：过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD，M(t，0，0)　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM，又QM⊥AD，∴QM⊥平面PAD　　过M作MN⊥PD于N，连结NQ，由三垂线定理知QN⊥PD　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角　　设N(m，0，n)，则＝(t－m，0，－n)，＝(t－m，，－n)＝(－4－m，0，－n)　　∵MN

4、⊥PD，ND、PD共线，∴　　得：m＋n－t＝0，m－n＝4　　②　　　　由①得：t＝－1或t＝－3，由②得：n＝2＋t　　当t＝－1时，，当t＝－3时，　　∴二面角A－PD－Q的大小为或．12分方法二(1)解：设BQ＝t，则PQ2＝19＋t2，QD2＝3＋(a－t)2，PD2＝16＋a2由PQ⊥QD得：19＋t2＋3＋(a－t)2＝16＋a2，即t2－at＋3＝0　　①　　∴△＝a2－12≥0　Þ　a≥2．4分(2)解：∵BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD，∴△＝a2－12＝0　Þ　a＝2，t＝，故Q是BC中点　　取AD中点R，PA中点S，连RS

5、、RC，则RS∥PD，RC∥AQ　　∴∠RSC就是异面直线AQ与PD所成角6分　　，，　　∴　　故异面直线AQ与PD所成角为arccos．8分(3)解：同方法一得∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角10分在Rt△PAD中，　　在Rt△PQD中，　　　　由①得t＝1或t＝3　　当t＝1时，，当t＝3时，　　∴二面角A－PD－Q的大小为或．12分3．某城市为了改善交通状况，需进行路网改造。已知原有道路a个标段（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数。设新建1个标段道路的平均

6、造价为k万元，新建1个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ，它与β的关系为。（Ⅰ）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式：（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间，而且新增道路标段为原有道路标段数的25%，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比P的取值范围；（Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比P最高时，问原有道路标段为多少个？解：（Ⅰ）依题意得，新建道路交叉口的总造价（单位：万元）为y=kβn=kβ（ax+b）。（5分）（Ⅱ

7、）。（7分）由于5%≤μ≤10%有则∴5≤1+β≤10。∴4≤β≤9。（8分）∴又由已知P>0，>0，从而。所以P的取值范围是（无等号不扣分。（10分）（Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的条件下，若路网最通畅，则β=9。又造价比最高。∴。（13分）当且仅当即a=4时取等号。∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个。（15分）4．已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的三组值，使，，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、（从小到大）依次构成的数列{}、{

8、}的通项公式（不必证明）；（3）若函数中，，（理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明