高考数学复习点拨 函数零点的判断及其运用三注意

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1、函数零点的判断及其运用三注意一.知识篇1.注意函数的零点与方程的根的关系：　一般地，对于函数（）我们称方程的实数根也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数的零点.2.注意函数的图像与方程的根的关系：　　一般地，函数（）的图像与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程的图像与轴交点的横坐标.　　3.注意判断一个函数是否有零点的方法：　　如果函数在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有，那么，

2、函数在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数使得，这个c也就是方程的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助图像判断解的个数，或者把写成，然后借助、的图像的交点去判断函数的零点情况.二.运用篇1.判断函数零点注意构造新函数[例1]已知二次函数对于1、2R，且1＜2时，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间（1，2）.解：设构造函数F（）＝－，则方程＝①与方程F（）＝0　　②等价.∵F（1）＝－＝F（2）＝－＝∴　F（1）·F（2）＝－，又∴F（1）·F（2）＜0故方程②必有一根在区间（1，2）内.由于抛物线y＝F（）在轴上、下方均有分

3、布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（1，2）.点评：本题由于方程是＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明的图像与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决.本题中将问题转化为F（）＝－的图像与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.2.判断函数零点要注意函数图象的连续性[例2].试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：构造函数＝，我们可以从函数式中发现其自变量没有任何限制,也就是说

4、其函数图象是连续的.判断一个函数在一个区间是否有零点,首先要保证图像是连续不断的曲线.在得到这一保证后就可以计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.解：令＝∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0;＝－16－4＋8＋2＝－10＜0;＝－2－1＋4＋2＝3＞0;＝0－0－0＋2＝2＞0;＝2－1－4＋2＝－1＜0＝16－4－8＋2＝6＞0.根据·＜0，·＜0，·＜0可知的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.点评：计

5、算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.如:.所以＝0有三个根：.3.函数零点的运用要注意数形结合思想的渗透[例3]已知函数，且方程有实根.(1)求证：-3

6、，得≥0.（2）=∵，∴c