高考数学二轮 等差等比名师精编精析（5）

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1、第五讲等差等比★★★高考在考什么【考题回放】1．在等差数列中，，则（A）A.B.C.D.-1或12.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（D）A.B.C.D.3.已知数列{}的前项和，第项满足，则（　B　）A．B．C.D．4.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　D　）A．2B．3C．4D．55.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　B　）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．86.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．★★★高考要考什么等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列，若等差数列的通项公式：-

2、-----该公式整理后是关于n的一次函数等差数列的前n项和1．2.3.等差中项:如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有对于等差数列，若，则。也就是：，3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：4．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：当n为偶数时，，当n为奇数时，则，，等比数列的判定方法:①定义法：若②等比中项：若，则数列是等比数列。等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。等比数列

3、的前n项和:当时，等比中项:如果使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。那么。等比数列的性质:1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有对于等比数列，若，则也就是：。3．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：★★突破重难点【范例1】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．解析由已知得，即，解得或或经验证或均满足题意，即为所求．【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．【变式】已知等差数列｛an｝的公差和等比数列｛bn｝的公比相等，且都等于d（d＞0，d

4、≠1）.若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求an，bn．解：由已知①②由①，得a1（3d2－1）＝2d③由②，得a1（5d4－1）＝4d④因为d≠0，由③与④得2（3d2－1）＝5d4－1，即5d4－6d2＋1＝0，解得d＝±1，d＝±．∵d＞0，d≠1，∴d＝．代入③，得a1＝－，故b1=－.an＝－＋（n－1）＝（n－6），bn＝－×（）n－1．本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.【范例2】下表给出一个“三角形数阵”：，，，…………已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为

5、aij(i≥j，i，j∈N*)．(1)求a83；(2)试写出aij关于i，j的表达式；(3)记第n行的和为An，求解析（1）由题知成等差数列，且，所以公差。又成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．∴．　（2）由（1）知，，∴．　（3）．【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．【文】在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列（1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明解析（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差

6、数列（２）设{an}的首项为a1，公比为q.由已知得2am+2=am+am+1∴2a1qm+1=a1+a1qm∵a1≠0q≠0，∴2q2－q－1=0，∴q=1或q=－当q=1时，∵Sm=ma1，Sm+2=(m+2)a1，Sm+1=(m+1)a1，∴Sm+Sm+1≠2Sm+2，∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列当q=－时，，∴Sm+Sm+1=2Sm+2，∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．【变式】等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不

7、同的三项都不可能成为等比数列．解：（Ⅰ）由已知得，，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．即．，．与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．【范例3】若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值