高考数学复习点拨 运用数形结合思想解决与圆有关的综合性问题

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1、运用数形结合思想解决与圆有关的综合性问题数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法．数形结合就是将抽象的数学语言、符号与其所反映的（可能是隐含的）图形有机的结合起来，从而促进了抽象思维与形象思维的有机结合，通过对直观图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得以解决．纵观历年高考试题，用数形结合的思想方法巧妙解决的问题比比皆是．本文主要介绍运用数形结合思想方法解决与圆有关的综合题。一、利用数形结合解决函数问题例1求函数f(x)=的值域.分析注意到f(x)≥0，因而可以先求[f(x)]2的值域，再求f(x)的值域，平方后解析式变得十分复杂，是否还有

2、其他方法呢？我们不妨用换元法试一试,如令u=,v=,则u2+v2=2(u≥0,v≥0)，由此可联想到其几何图形.解:令u=,v=,则u2+v2=2(u≥0,v≥0)，它表示以原点为圆心，为半径的一段圆弧（在第一象限内），又u+v=y,即v=-u+y,故点P(u,v)又在直线v=-u+y上，那么y的几何意义即为直线在y轴上的截距，因而原问题转化为“当直线与这段圆弧有交点时，求直线的纵截距的取值范围”.由图4一1易知此范围为[,]，故所求的值域为[,]．学后感悟本来这里的问题的几何意义并不十分明显，而换元后，其几何意义就一目了然了，因而恰当的变量代换就成为数形结合的桥梁．二、

3、利用数形结合解决不等式问题例2已知a,b，x,y∈R,且a+2b+6=0，x+2y=-1，求证：(a+x)2+(b+y)2≥5.分析从特征不等式的左边入手观察，它可视为点P(a,b)和Q(-x,-y)之间距离的平方，再注意到a，b和x，y所满足的等式，由此可联想到它们的几何意义，问题即可解决．证明(a+x)2+(b+y)2是两点P(a,b)与Q(-x,-y)的距离的平方．∵a+2b+6=0,∴点P(a,b)在直线l1:x+2y+6=0上．∵x+2y=1，∴点Q(-x，-y)在直线l2：x+2y+1=0上．显然，l1∥12，且l1与l2的距离为d=.又∵l1与l2上任意两点

4、间的距离大于或等于它们之间的距离．∴

5、PQ

6、≥，即

7、PQ

8、2≥5.故(a+x)2+(b+y)2≥5.学后感悟利用数形结合来证明不等式的途径有二：一是通过不等式所表示的平面区域来证明；二是联想代数式的几何意义，从而转化为几何问题．三、利用数形结合解决集合问题例3　已知集合，，若集合交集合有两个不同的公共元素，求的取值范围．　　分析：由于集合不是整个圆，而仅是圆的一部分，应用数形结合思想处理．　　解：如图2所示，集合是斜率为1的平行直线系，集合表示单位圆位于轴及其上方的半圆，当通过、时，与半圆有两个交点，此时，记为；当与半圆相切时，切线记为；当夹在与之间时，与半圆有两个不同的

9、公共元素，因此．　四、利用数形结合解决几何问题利用数形结合解决几何问题主要体现在两个方面：其一是解答解析几何中的问题时，先作出图形，利用图形的直观性来挖掘隐含条件，找到解题的途径；其二是对于有些几何问题，其图形的位置关系并十不分明确，而只有通过精确的计算，才能决定它，也就是化“形”为“数”.例4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有几个？解:如图所示,圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心为O1(3,3)，半径为r=3.设圆心O1到直线3x+4y-11=0的距离为d，则<3.在圆心O1同侧，与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的

10、直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又r-d=3-2=1，∴与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点符合题意．∴符合题意的点共有3个．点评：图形的直观性与精确的数学计算，使点与直线的位置关系十分明朗．