齐次线性方程组在高数中的应用

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1、齐次线性方程组在高数中的应用.L.编辑。齐次线性方程组在高数中的应用[关键词]齐次线性方程组系数矩阵行列式　　　　线性代数中齐次线性方程组是否有非零解有下面的重要结论：　　定理含有n个未知量的n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：方程组的系数行列式为零。.L.　　下面来看看该结论在高等数学中的应用。　　　　例1设空间曲线位于某一平面，且f(t),g(t),h(t)三阶可导，证明：　　　　　　　　证：设曲线所在平面方程为：Aχ+Bу+Cz+D=0，其中A,B,C不全为零。设M(x(t),y(t),z(t))为曲线上点，则　　Af(t)+Bg(t

2、)+Ch(t)+D=0，　　在方程两边关于t分别求一阶，二阶，三阶导数得：　　Af`(t)+Bg`(t)+Ch`(t)=0，　　Af``(t)+Bg``(t)+Ch``(t)=0，　　Af```(t)+Bg```(t)+Ch```(t)=0，　　方程组关于(A,B,C)有非零解，对应的系数行列式为零，　　　　即：。　　　　例2求过点(χ0,у0,z0)且与平面Aiχ+Biу+Ciz+Di=0(I=1,2)垂直的平面方程。　　解:设所求平面方程为A(χ-χ0)+B(у-у0)+C(z-z0)=0，(1)　　　　由已知可得：　　　　显

3、然，A,B,C不全为零，则(1),(2),(3)构成的方程组有非零解，对应的系数矩阵为零，即：　　　　=0，此即为所求平面方程。　　　　例3设方程aχ+bу+cz=f(χ2+у2+z2)确定隐函数为z=z(χ+у)，其中f可导，　　证明：z=z(χ,у)满足：。　　证：在aχ+bу+cz=f(χ2+у2+z2)分别关于x,y求偏导，并移项整理得：　　　　　　该方程组有非零解-f和1，则系数行列式为零，即：　　　　，展开整理即得所证。　　　　例4设у=ex(C1sinχ+C2cosχ)未某二阶常系数齐

4、次线性微分方程的解，求该微分方程。　　解：在у=ex(C1sinχ+C2cosχ)两端关于x求1，2阶导数：　　(C1-C2)exsinχ+(C1+C2)excosχ-у`=0,(1)　　-2C2exsinχ+2C1excosχ-у``=0,(2)　　再考虑C1exsinχ+C2excosχ-у=0，(3)　　则(1),(2),(3)构成的方程组有非零解：exsinχ,excosχ,-1，对应系数矩阵为零，则：　　　　展开得：(C12+C22)(y``-2y`+2y)=0，　　　　由

5、C1+C2任意性，可得：y``-2y`+2y=0。　　[