高考（理科）数学一轮复习课时作业15 定积分及其应用（北师大版）

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1、高考（理科）数学一轮复习课时作业15定积分及其应用一、选择题1．(山东高考)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.解析：S＝(x2－x3)dx＝(x3－x4)＝.答案：A2．(湖南高考)dx等于(　　)A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2解析：dx＝lnx＝ln2.答案：D3．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是(　　)A．S＝(x2－x)dxB．S＝(x－x2)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y－)dy解析：将曲线y＝x2与y＝x联立方程组，得x＝0或x＝1.结合图象可知，选项B成立．答案：B4．若a＝sinx

2、dx，b＝cosxdx，则a与b的关系(　　)A．abC．a＝bD．a＋b＝0解析：∵(－cosx)′＝sinx，(sinx)′＝cosx，∴a＝sinxdx＝－cos2＋cos＝－cos2，b＝cosxdx＝sin1.∴b－a＝sin1＋cos2＝－2sin21＋sin1＋1＝－2(sin1－)2，∵00，a

3、2－4x＋3，∴S＝(－2x2＋7x－6＋x)dx＝－2(x2－4x＋3)dx＝－2[(9－18＋9)－(－2＋3)]＝.答案：C6．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　)A.B.C.D.解析：∵sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos0＝2，∴所投的点落在阴影部分的概率是＝.答案：A7．（湖南高考）由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)A.B．1C.D.解析：根据定积分的简单应

4、用相关的知识可得到：由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为：S＝＝＝＝，故选D.答案：D二、填空题8．已知a＝(sint＋cost)dt，则(x－)6的展开式中的常数项为________．解析：∵(sint－cost)′＝sint＋cost，∴a＝(sint＋cost)dt＝(sinπ－cosπ)－(sin0－cos0)＝2.则(x－)6的展开式中的常数项为C63(－)3＝－.答案：－9．如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0

5、x＝t3－t2＋，S′(t)＝2t(2t－1)＝0，得t＝为最小值点，此时S(t)min＝.答案：三、解答题10．求下列定积分：(1)(3x2－x＋1)dx；(2)(e2x＋)dx；解：(1)(3x2－x＋1)dx＝(x3－x2＋x)＝a3－a2＋a.(2)∵(lnx)′＝，(e2x)′＝e2x，∴(e2x＋)dx＝e2xdx＋dx＝e2x＋lnx＝e4－e2＋ln2－ln1＝e4－e2＋ln2.11．已知　f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，　f(x)dx＝－2.(1)求　f(x)的解析式；(2)求　f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解：(1)设　f(x)＝ax2＋

6、bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得，即.∴　f(x)＝ax2＋(2－a)．又　f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx＝＝2－a＝－2.∴a＝6，∴c＝－4.从而　f(x)＝6x2－4.(2)∵　f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，所以当x＝0时，　f(x)min＝－4；当x＝±1时，　f(x)max＝2.12．如图所示，抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动．(1)求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a，b)；(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分．解：(1)解：解方程

7、组，得x1＝1，x2＝－4.∴抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的交点为A(1,3)，B(－4，－12)，∴P点的横坐标a∈(－4,1)．点P(a，b)到直线y＝3x的距离为d＝，∵P点在抛物线上，∴b＝4－a2，d′a＝·(4－3a－a2)′＝(－2a－3)＝0，∴a＝－，即当a＝－时，d最大，这时b＝4－＝，∴P点的坐标为时，△PAB的面积最大．(2)证明：设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S