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时间:2018-05-03
《高考数学复习点拨 函数单调性错例剖析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、函数单调性错例剖析函数的单调性是函数基本性质之一,《考试大纲》对本性质作了重要的要求,它的应用非常广泛,但同学们在解题时,往往由于应用不熟练而导致错误,现举几例说明。一、忽视单调性例1已知函数f(x)=x2-x-1,x∈[-1,],求f(x)的最大值和最小值。错解:∵f(-1)=1+-1=,f()=3-2-1=0,∴f(x)的最大值和最小值分别为和0。剖析:以上解法忽视了函数的单调性,由题设知函数f(x)在[-1,]上单调递减,在[,]上单调递增,因而当x=时,f(x)取得最小值。解:∵f(x)=(x-)2-,x∈[-1,],∴当x=
2、时,f(x)的最小值为-,当x=-1时,f(x)的最大值为。二、不理解单调性定义例2判断函数f(x)=的单调性。错解:f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),设x1<x2<-1,则f(x2)-f(x1)=-=。∵x1<x2<-1,∴x1-x2<0x1+1<0x2+1<0∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1)∴f(x)在(-∞,-1)上为减函数,同理可得f(x)在(-1,+∞)上也是减函数,故f(x)在(-∞,-1)∪(-1,+∞)为减函数。剖析:对函数单调性理解不够导致错误,对于单调性只能是在某个指定区间上来
3、说的,不能用并集表示单调区间。正解:f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),设x1<x2<-1,则f(x2)-f(x1)=-=∵x1<x2<-1,∴x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1)∴f(x)在(-∞,-1)为减函数。同理可得f(x)在(-1,+∞)上也是减函数。∴f(x)在(-∞,-1)和(-1,+∞)上都是减函数。三、错用函数的单调性例3利用定义判断函数f(x)=x+在区间(-∞,+∞)上的单调性。错解:设x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2,则f(x1)-
4、f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)∵x1<x2,∴x1-x2<0,-<0∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)。故函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调增函数。剖析:该解法失误在于错用了g(x)=的单调性,而实际上在R上g(x)=不具备单调性。例如g(-1)=g(1)或由数形结合可知。正解:设x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)+=(x1-x2)+=∵x1<x2,∴x1-x2<0,又∵+>0,+x1>
5、x1
6、+x1≥0,+x2
7、>
8、x2
9、+x2≥0∴++x1+x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调增函数。点评:利用定义法判断函数单调性时,一般要将f(x1)-f(x2)化成几个因式的乘积的形式。
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