高考数学一轮复习随堂演练：7.5空间中的垂直关系

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1、7.5直线与平面垂直一、选择题1．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是(　　)①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④答案：A2．二面角α－l－β的大小为锐角，P∈l，PA⊂α，PB⊂β且PA⊥l，则(　　)A．∠APB的最大值等于二面角的平面角B．∠APB的最小值等于二面角的平面角C．二面角的平面角既不是∠APB的最大值，也不是∠APB的最小值

2、D．∠APB就是二面角的平面角解析：如右图，在平面β内作PC⊥l，则∠APC为二面角的平面角，cos∠APB＝cos∠BPC·cos∠APC≤cos∠APC，即∠APB≥∠APC，故选B.答案：B3．二面角α－AB－β的平面角是锐角，C∈α，CD⊥β，垂足为D，E∈AB，且∠CEB是锐角，则∠CEB与∠DEB的大小关系为(　　)A．∠CEB＞∠DEBB．∠CEB＜∠DEBC．∠CEB≤∠DEBD．∠CEB与∠DEB的大小关系不确定解析：如下图：作DF⊥AB垂足为F，连结CF由三垂线定理知∠CFD为二面角的平面角，可知∠CED，

3、∠DEB均为锐角，cos∠CEB＝cos∠DEB·cos∠CED＜cos∠DEB，即∠CEB＞∠DEB.答案：A4．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为(　　)A.πB.πC.πD.π答案：C二、填空题5．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________．答案：可填①③④⇒②与②③④

4、⇒①中的一个6．一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内，则这条线段与这两个平面所成的角的和的范围是________．解析：作AC⊥l垂足为C，作BD⊥l垂足为D，连结BC、AD，则∠BAD和∠ABC分别为直线AB和平面α和β所成角．由cos∠ABD＝cos∠ABC·cos∠DBC≤cos∠ABC，即∠ABD≥∠ABC，∠ABC＋∠BAD≤∠ABD＋∠BAD＝90°.答案：(0°，90°]7．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的_______

5、___；(2)若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的__________；(3)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的__________；(4)若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的__________；(5)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．答案：(1)外心　(2)外心　(3)内心　(4)内心　(5)垂心三、解答题8．若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC

6、⊥AC.证明：∵平面PAC⊥平面PBC，作AD⊥PC垂足为D，根据平面与平面垂直的性质定理知：AD⊥平面PBC，则BC⊥AD，又PA⊥平面ABC，则BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC.因此BC⊥AC.9．如右图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，(1)证明AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VBD所成的二面角的正切值．解答：(1)证明：∵平面VAD⊥底面ABCD，又AB⊥AD，则AB⊥平面VAD.(2)取VD中点E，连结AE、BE，∵△VAD是正三角形，则AE⊥VD，由

7、三垂线定理知BE⊥VD.∴∠AEB为面VAD与面VBD所成二面角的平面角．设AB＝1，在Rt△AED中，AE＝ADsin60°＝，∴tan∠AEB＝＝.10．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱AD的中点，求二面角A－BD1－P的大小．解答：∵AB⊥平面AD1P，∴平面AD1P⊥平面AD1B.过P作PE⊥AD1垂足为E，则PE⊥平面AD1B，作EF⊥BD1，连结PF，则由三垂线定理知PF⊥BD1，则∠PFE为二面角A－BD1－P的平面角，设AB＝1，∵Rt△AEP∽Rt△ADD1，＝∴PE＝＝，在等腰△PB

8、D1中，BP＝，BF＝BD1＝，∴PF＝＝，在Rt△PEF中，sin∠PFE＝＝，∴∠PFE＝30°.1．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SA＝SB＝.(1)证明SA⊥BC；(2)求直线