第七章7.5空间中的垂直关系

《第七章7.5空间中的垂直关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§7.5空间中的垂直关系教材回扣夯实双基基础梳理1.直线与平面垂直(1)定义:如果一条直线和一个平面内的___________一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.任何(2)定理:文字语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条_________________都垂直,那么该直线与此平面垂直.性质定理如果两条直线同______________________,那么这两条直线平行.相交直线垂直于一个平面图形语言符号语言判定定理性质定理a∩b＝Ab⊥α思考探究能否将直线与平面垂直定义中的“任何一条直线”改为“无数条直线”？能否将直线与平面垂直判定定理中的“相交”去掉

2、？提示:不能,若平面内的直线互相平行,这些直线可能都与该直线垂直,但直线不一定与平面垂直.2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是___________,就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)定理:文字语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条_________,那么这两个平面互相垂直.性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们__________的直线垂直于另一个平面.垂线交线文字语言符号语言判定定理性质定理AB⊥αAB⊥MN课前热身2.已知a、b是不垂直的异面直线,在下列命题中,假命题是()A.一定存在平面α过a且与b平行B.

3、一定存在平面α过a且与b垂直C.一定存在平面α与a、b所成角相等D.一定存在平面α与a、b的距离相等解析:选B.若存在过a的平面α与b垂直,则有直线b垂直于直线a,与已知矛盾,故选B.3.如图所示,在五个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥面MNP的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形符号)解析:易判断①④正确.⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN,因此三棱锥A－PMN是正三棱锥,故图⑤中l⊥面MNP.同理可否定③,因为AM≠AP≠AN,也易否定②.答案:①④⑤4.各棱长都为1的正四棱锥的体积V＝__

4、_____解析:如图所示,正四棱锥S－ABCD的各棱长均为1,连接AC,O为AC的中点,连接SO,考点1直线与平面垂直的判定与性质考点探究讲练互动考点突破如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M、N、P分别为所在棱的中点,O为面对角线A1C1的中点.求证:OM⊥平面A1C1B.例1【证明】法一:连接C1M和A1M,设正方体的棱长为a,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,C1M＝A1M,【规律小结】(1)证明直线和平面垂直的常用方法有方法一利用判定定理方法二利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)方法三利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β)方

5、法四利用面面垂直的性质(2)当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任意一条直线,常用来证明线线垂直.例备选例题(教师用书独具)如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE；(2)PD⊥面ABE.变式训练(1)证明:PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值.例2考点2平面与平面垂直的判定与性质(2011·高考江苏卷)如图,在四棱锥P－ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB＝AD,∠BAD＝60°,E、F分别是AP、AD的中点.

6、求证:(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.【规律小结】要证面面垂直,一般要转化为线面垂直,即考虑证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,然后进一步转化为线线垂直,为此要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互转化关系.特别地,若已知两个平面垂直时,一般要用性质定理,将其转化为线面垂直进行应用.例备选例题(教师用书独具)如图,四棱锥P－ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD＝90°,面PAD⊥面ABCD,AB＝1,AD＝2.方法感悟方法技巧1.细化线面垂直的判定(1)线面垂直的定义:a与α内任何直线都垂直

7、⇒a⊥α；失误防范1.直线和平面垂直(1)判定定理可以简单地记为“线线垂直⇒线面垂直”,定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”.证题时常常是定义和判定定理反复使用,使线线垂直与线面垂直的关系相互转化.(2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理,可以并入平行推导链中,实现平行与垂直的相互转化,即线⊥线⇒线⊥面⇒线∥线⇒线∥面.2.垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直