概率论与数理统计在数学建模中的应用

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1、概率论与数理统计在数学建模中的应用——国冰。第一节概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大.但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积

2、相应增大，工作精度也会降低.因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大?这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第个部件上装有个备用件,此时该部件正常工作的概率为，那么整个系统正常工作的可靠度便可用（9.1）来表示.又设第个部件上的每个备用件的费用为，重量为，并要求总费用不超过，总重量不超过，则问题的数学模型便写成为（9.2）问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数，属于非线性整数规划问题。2、传染病流行估计的数学模型问题分析和模型假设本世纪初，

3、瘟疫还经常在世界的某些地方流行。被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程，以便对这些问题做出回答。这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程。假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人，即可能感染者，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的.问题在于一旦掌握了随机规律，那么如何去估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计

4、的准确性有多大?给出以下假设（1）设人群只分病人和健康人两类，病人数和健康人数分别记为和，总数不变，即（9.3）（2）人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同概率，每人每天平均与人接触；（3）当健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率为。模型建立求解由假设（2）知道一个健康人每天接触的人数服从，且平均值是，则于是(9.4)又设一健康人被一名指定病人接触并感染的概率为，则由假设3及(9.4)式得(9.5)那么一健康人每天被感染的概率为(9.6)由于健康人被感染的人数服从，其平均值为(9.7)标准差为(9.8)注意

5、，通常，取(9.6)式右端展开式的前两项，有(9.9)最后得到(9.10)(9.11)(9.10)式给出了健康人每天平均被感染的人数与、、、的关系，(9.11)式为变异系数，可看作对平均值的相对误差的度量。二、随机性决策模型所谓行为决策理论，就是用行为科学的观点和方法，对决策活动进行描述，解释和预测的一种理论。它以人的决策行为作为基本要素，以自然科学的实证方法作为主要手段，归纳出一套建立在经验证据基础上的理论观点，拓展了决策论的研究范围。合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求

6、；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略.如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益

7、值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法·利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.·充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。选择分割的

8、方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。对每个节点的衡量：1)通过该节点的记录数2)如果是叶子节点的话，分类的路径3)对叶子节点正确分类的比例。有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。决策树对于常规统计方法的优点。构造好的决策树的关键在于如何选择好的逻辑判断或属