关于循环矩阵的讨论

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1、晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文关于循环矩阵的讨论　　学生姓名：赵志梅（0405班）指导教师：张东艳摘要：本文给出了一种特殊的矩阵——循环矩阵，主要利用多项式生成矩阵的思想，初步研究了循环矩阵的性质以及它在各个方面的应用．关键词：循环矩阵；行列式；逆矩阵；对角化晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文DiscussiononCyclicalMatrixStudent:ZhaoZhimeiInstructor:ZhangDongyanAbstract：Thisessaygivesaspecialmatrixwhichiscalledcyclicalma

2、trix,andprimarilystudiesthecharactersofcyclicalmatrixanditsapplicationsindifferentaspectsaccordingtotheideaofformingmatrixthroughmultinomial．Keywords：cyclicalmatrix；determint；inversematrix；diagonalization晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文目录1.预备知识……………………………………………………………12.循环矩阵的性质……………………………………………

3、………12.1性质1………………………………………………………………12.2性质2………………………………………………………………12.3性质3………………………………………………………………23.循环矩阵的应用……………………………………………………33.1循环矩阵的行列式的计算…………………………………………43.2循环矩阵的逆矩阵…………………………………………………63.3循环矩阵对角化……………………………………………………8参考文献………………………………………………………………11致谢…………………………………………………………………12晋中学

4、院数学学院2008届本科生毕业论文1.预备知识定义1　复数域上的阶矩阵称为阶循环矩阵．定义2　设次多项式，为阶矩阵，则称为多项式关于矩阵的生成矩阵，为矩阵的次生成多项式．命题　令易知,都是阶循环矩阵，称为基本循环矩阵,且．是阶单位矩阵，并记.任意一个阶循环矩阵都可用线性表示；反之，如果可用线性表示，那么也一定是阶循环矩阵．事实上,此处，.2.循环矩阵的性质2.1　性质1　若，都是阶循环矩阵，那么也是阶循环矩阵，且．证明设;又因为（为非负整数）因而有这里是一个不高于次的多项式．得证．2.2　性质2　若是阶循环矩阵，且可逆，那么的逆矩阵也是阶循环矩阵．证明由性质

5、1，只要能找到阶循环矩阵（为待定常数，）使得即可，其中为可逆循环矩阵．12晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文　　　　　要使，就要且只要上述方程组是以为未知数，的转置矩阵为系数矩阵的线性方程组，由于可逆，故．从而方程组有唯一的，而就是的逆矩阵，且是循环矩阵.推论设为阶循环矩阵，且可逆，则的伴随矩阵也是循环矩阵.证明，由性质2，是循环矩阵，因此，，（且是常数）也是循环矩阵.2.3性质3　任何一个阶循环矩阵在复数域上都可以对角化，更进一步，必然存在一个复阶可逆矩阵，它使所有阶循环矩阵同时对角化.证明基本循环矩阵的特征多项式为，特征根为次单位根，.由于（），所

6、以可以对角化.的特征根为的特征向量依次为12晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文故作矩阵　　　　　令　　　　　　　　则由于为范德蒙行列式，当时．从而可逆，得又是任意的，从而证明了性质3的全部理论．由性质3的证明可知，的全部特征根是，且　　　　　　　　　　　．推论　阶循环矩阵可逆的充分必要条件为　12晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文证明　若可逆，则即．反之亦成立．如果记的个列向量为，则，那么是所有的阶循环矩阵共同的个线性无关的特征向量．3.循环矩阵的应用3.1循环矩阵行列式的计算由循环矩阵的性质3我们可知，基本循环矩阵右乘循环矩阵得即　．又由于为范

7、得蒙行列式，故下面我们用另一种方法来证明对于任意一循环矩阵的行列式为．引理　设阶方阵的特征根为，为任意多项式，则的特征根为证明根据题设有设　　　　　　　12晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文则　　　　　　　现在把看作自由变量，在上式中用来代替则　即的特征根为那么对于循环矩阵　　取基本矩阵，，其中所以的特征值为的根，设为令　　则　　由引理得，的特征根为　　．从而　　　.12晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文例已知循环矩阵，求解＝对于次单位根　分别为，，3.2　循环矩阵的逆矩阵设为一个阶循环矩阵，将其列依次循环可得一系列循环矩阵，用，分别表示上述主对

8、角线上元素为的阶循环矩阵.设　　，12晋中学院数学学