在习题课教学中培养学生发散思维能力

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1、在习题课教学中培养学生发散思维能力摘要：发散思维（求异思维）是一种创造性思维，是培养学生善于开拓、变异并提出新问题，去从多种途径寻求问题解答的一种思维方式。在数学习题的教学中，笔者经常采用：“一题多解”、“一题多探”、“一题多变”、“一题多用”四种模式培养学生的发散思维能力和创新精神。发散思维（求异思维）是一种创造性思维，其本质特征是思维的多向性，表现在对已知信息进行多方向、多角度、多层次去分析思考、析取和重组信息，使思维不恪守常规、不拘于常法、不局限于某一固定的模式，而是善于开拓、变异并提出新问题，去从多种途径寻求问

2、题解答的一种思维方式。在数学习题的教学中，我经常采用：“一题多解”、“一题多探”、“一题多变”、“一题多用”四种模式培养学生的发散思维能力和创新精神。1在“一题多解”中培养发散思维的灵活性对于一道数学题，往往由于审视的方向不同，而得到不同的解题方法。在习题课教学中，教师若能抓住一切有利时机，经常有意识地启发、引导学生在所学的知识范围内，尽可能地提出不同的构想，追求更好、更简、更巧、更美的解法，这不仅有利于对基础知识的纵横联系和沟通，而且也有利于培养学生的发散能力和创新精神。例1已知,a,b为相异的实数，求证：这是一道不

3、等式的证明题，可以从解题方法的角度进行发散，不难得出以下几种解题思路。思路1　按证明绝对值不等式的常规方法，经过平方去掉绝对值符号，作差比较，再利用配方法证明。思路2　作商比较，利用共轭根式将分子有理化，再用放缩原理证明。思路3　注意函数的结构特征，用三角代换，令x=tan，转化为三角不等式的证明。思路4　观察函数f(x)的特点，联想到复数的模，可构造复数z=1+xi,利用复数的三角不等式进行证明。思路5　考察表达式=可视作p(x,1)到O(0,0)的距离，当ab时，由点p(a,1)、p(b,1)和原点确定的Opp中任

4、一边大于其余两边之差即可得证。思路6　考虑方程y=表示双曲线y－x=1的上支，是双曲线上两点（a,f(a)）与（b,f(b)）连续斜率的绝对值，于是，问题可转化为双曲线上支任一弦所在直线斜率的估计问题，而双曲线y－x=1的渐近线斜率为，问题即可得证。“一题多解”模式，在一定程度上，可以很好的吸引学生从多角度观察、思考、联想、概括并获得多种解题途径，从而不断掀起学生的思维浪花，使他们既开阔了视野，又增添了兴趣，也感受到数学的美妙与情趣，更培养了发散思维的灵活性。2在“一题多解”中培养发散思维的深刻性“一题多解”的教学模式

5、有如下两种形式的教学设计：第一种形式：对同一题设条件，引导学生观察和思考，由此导出的各种结果进行探索性分析和论证，从而构造出在同一题设条件下的多个命题。例2已知AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在平面，C是圆周上的任意一点，求证：ΔPAC所在平面⊥ΔPBC所在平面。这是高中课本的一道习题，证明完毕后可引导学生观察题设条件，让学生思考，还可以得到哪些结果？不难发现如下结论：(1)ΔPAB、ΔPAC、ΔPCB、ΔACB都是直角三角形；(2)平面PBC⊥平面PAC，平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC；(3)∠CAB是

6、平面PAC与平面PAB的平面角，∠PCA是平面PBC与平面ABC的平面角；(4)AC是异面直线PA、BC的公垂线间的距离；(5)求点A到平面PBC的距离；(6)cosPCA=S/S；(7)V＝·PAS＝·BCS.第二种形式：就是对一个确定的结论或某个数学概念，引导学生探索能使该结论或该概念成立的充分条件或必要条件或充要条件。例3四棱锥V－ABCD满足下列条件之一：(1)各侧面都是正三角形；(2)各侧面都是全等的等腰三角形；(3)各侧面的斜高相等；(4)各侧面与底面所成角相等；(5)各侧棱与底面所成角相等；(6)各侧面都

7、是等腰三角形且底面是正方形；(7)相邻侧面所成的二面角都相等；(8)相邻侧棱所成的角都相等；问哪些条件是四棱锥成为正四棱锥的充要条件？哪些条件是四棱锥成为正四棱锥的充分非必要条件？哪些条件是四棱锥成为正四棱锥的必要非充分条件？“一题多解”的两种设计，实际上就是结论开放和条件开放两种类型的数学习题，可以看出这是一种思维能力训练力度较大的教学设计，其特点是让学生直接参与到数学习题形成的过程之中，这样，真正收到了由表及里、举一反三、触类旁通的功效，通过一题多问、一题多思，对培养学生的创造性思维能力有积极地作用，同时，还能激发

8、学生的探索精神。3在“一题多变”中培养发散思维的广阔性“一题多变”模式是将数学问题的条件、结论同时发散，就是对一个问题由特殊到一般或由特殊到特殊地推广，一般是把条件或结论进行相似变换，即在条件元素的数量上或维数上进行推广，例如：在几何方面，常表现为线段或边数（角度）的增加或从平面到空间进行推广；在代数方面常表现为变量个数的递增；在