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1、分块矩阵转置（共1篇）以下是网友分享的关于分块矩阵转置的资料1篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。第一篇引言为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.76而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式
2、,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。第一章矩阵的分块和分块矩阵的定义设A是数域K上的m⨯n矩阵，B是K上n⨯k矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含mmmr个行，又将A的列分割为s段，每段包含n1n2ns个列。⎛A11A21A=⎝Ar1A12A22Ar2A1s⎫⎪A2s⎪⎪⎪Ars⎭于是A可用小块矩阵表示如下：，其中Aij是mi⨯nj矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为⎛B7611B21B=⎝Br1B12B22B
3、r2B1s⎫⎪B2s⎪⎪⎪Brs⎭其中Bij是ni⨯kj的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。二．分块矩阵加法和乘法运算设A=(aij)m⨯nB=(bij)m⨯n为同型矩阵（行和列数分别相等）。若采用相同的分块法。⎛A11A21A=⎝Ar1A12A22Ar2A1s⎫⎛B11⎪A2sB⎪B=21⎪⎪Ars⎭⎝Br1B12B22Br2B1s⎫⎪B762s⎪⎪⎪Brs⎭则可以直接相加乘法:设⎛C11C21C=⎝Cr1C12C22Cr2，则C有如下分块形式：C1s⎫⎪C2s⎪，⎪⎪Crs⎭其中Cij是mi⨯kj矩阵，且Cij=n∑i=1AijBij
4、⎫⎪⎪⎪⎪AS⎭⎛A1定义称数域K上的分块形式的n阶方阵A=⎝A276为准对角矩阵，其中置全是小块零矩阵。2、分块矩阵的一些简单基本性质为阶方阵（），其余位命题阶准对角矩阵有如下性质：（1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中⎛A1A=⎝0A2⎫⎛B1⎪⎪B=⎪⎪AS⎭⎝0B2⎫⎪⎪，有；⎪⎪BS⎭同为阶方阵），⎛A1B1AB=⎝0A2B2⎫⎪⎪⎪⎪ASBS76⎭（2）、；⎛A1-1=⎝-1（3）、A可逆等价于Ai(i=1,2,n)可逆，且A-1A2⎫⎪⎪。⎪⎪-1Ar⎪⎭第二章利用分块矩阵计算行列式1引理设矩阵⎛A1H=⎝0A2⎫⎛
5、A1⎪⎪或H=⎪⎪AS⎭⎝A7620⎫⎪⎪⎪⎪AS⎭其中A1,A2,…,As是实矩阵，且均为方阵,则
6、H
7、=
8、A1
9、
10、A2
11、…
12、As
13、2利用分块矩阵计算行列式设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式H=ACDB21矩阵A或B可逆时行列式
14、H
15、的计算命题1设A、B分别为m与n阶方阵.证明:(1)当A可逆时,有ACACDBDB=A∙B-CA-1D(2)当B可逆时,有=A-DB-1C76B⎛E-1证(1)根据分块矩阵的乘法,有⎝-CA0⎫⎛A⎪E⎭⎝CD⎫⎛A⎪=B⎭⎝0⎫⎪-1B-CAD⎭D由引理知,两边取行列式即得(1).⎛E(2)根据分块
16、矩阵的乘法,有⎝0-DBE-1⎫⎛A⎪⎭⎝CD⎫⎛A-DB-1C⎪=B⎭⎝C0⎫⎪B⎭两边取行列式即得(2).注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆.推论1设A,B,C,D分别是m,n,n×m和m×n矩阵.证明(1)EmCDB=B-C76D（3）(2)ACDEn=
17、A-DC
18、.(4)证明只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4).推论2C,D分别是n×m和m×n矩阵.证明：EmCDEn=En-CD=Em-CD（5）证明：证明在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5
19、).例1计算下面2n阶行列式ad
20、Had2n
21、=cb(a≠0)cb⎛a⎫⎛b76⎫⎛c⎫⎛d解令A=⎪⎪⎪⎪,B=⎪，C=⎪,D=⎝a⎪⎭⎝b⎪⎭⎝c⎪⎭⎝且都为n阶方阵.由于a≠0,故A为可逆方阵.⎛b-ca-1⎫d又易知B-CA-1D=b-ca-1d⎪⎪⎪⎝b-ca-1d⎪⎪⎭从而由命题1中(1)得
22、H76-1n-1n2n
23、==ADCB=AB-CAD=a(b-cad)=(ab-cd)n例2计算行列式a01111a10(1)10a20,(ai≠0,i=1,2,…,n);1an⎫⎪⎪d⎪⎭1000a10100a2（2）0010a7630
24、001anb1b2b3bnc解(1)设Q=ADCB，其中A=(a0),⎛a1⎫B=⎪1,,1)T,⎪,C=(1,⎝a⎪n⎭D=(1,1,,1)T因为ai≠0,i=1,2,…,n,所以B是可逆矩阵.n又易知A
