矩阵转置偏导数.pdf

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1、矩阵导数1.矩阵Y=F(x)对标量x求导相当于每个元素求导数df1112()xdf()xdf1n()xdxdxdxdf2122()xdf()xdf2n()xdYdxdxdxdxdf()xdf()xdf()xm12mmndxdxdx2.标量y对列向量x求导注意与上面不同，这次括号内是求偏导，对m×1向量求导后还是m×1向量fx1fdyyf()xx2dxfxmT3.行向量y对列向量x求导注意1×n向量对m×1向量求导后是m×n矩阵。将y的每一列对x求偏

2、导，将各列构成一个矩阵。fx()fx()fx()12nxxx111fx()fx()fx()T12ndyxxx222dxfx()fx()fx()12nxxxmmm重要结论：TdxIdxTd()AxTAdxT4.列向量y对行向量x求导T转化为行向量y对列向量x的导数，然后转置。注意m×1向量对1×n向量求导结果为m×n矩阵。Tfx()fx()fx()12mxxx111TTfx12()fx()fxm()ddyyxxx

3、ddxxT222fx()fx()fx()12mxxxnnn重要结论：dxITdxd()AxATdx5.向量积对列向量x求导运算法则注意与标量求导有点不同。TTTd(uv)d(u)d(v)vudxdxdx重要结论：TTTd(xx)d(x)d(x)xx2xdxdxdxTTTTd(xAx)d(x)d(xA)TAxx()AAxdxdxdx6.矩阵Y对列向量x求导将Y对x的每一个分量求偏导，构成一个超向量。注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。Fx1FdYYFx

4、()x2dxFxm7.标量y对矩阵X的导数类似标量y对列向量x的导数，把y对每个X的元素求偏导，不用转置。fffxxx11121nfffdyxxx21222ndXfffxxxm12mmn重要结论：Td()uXvTuvdXTTd()uXXuT2XuudXTd[(Xuv)(Xuv)]T2(Xuvu)dX8.矩阵Y对矩阵X的导数将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。