高二数学正弦定理3

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1、第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(一)自主学习1.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2.在Rt△ABC中,C=90°,则有:(1)A+B=90°,0°

2、、b、c,试用向量法证明正弦定理.证明 (1)若△ABC为直角三角形,不妨设C为直角.如图所示,根据正弦函数的定义,=sinA,=sinB,所以==c=2R(2R为外接圆直径).∵C=90°,∴sinC=1,=c=2R.∴===2R.(2)若△ABC为锐角三角形,过A点作单位向量i⊥,则有:i·=i·(-)=i·-i·,∵i⊥∴i·=0,∴i·=i·,即ccos(90°-A)=acos(90°-C),∴csinA=asinC,∴=.同理可证:=;=.∴==.(3)若△ABC为钝角三角形,可仿(2)证明.综上,==.对点讲练已知两角和一边解三角形例1 在△ABC中,a=5,B=45°,

3、C=105°,解三角形.分析 要注意在△ABC中隐含条件A+B+C=180°的运用.解 由三角形内角和定理知A+B+C=180°,所以A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°)=30°.由正弦定理==,得b=a·=5·=5;c=a·=5·=5·=5·=(+).总结 已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量,其中至少有一个是边,可以求解其余的三个量.变式训练1 在△ABC中,已知a=2,A=30°,B=45°,解三角形.解 ∵==,∴b====4.∵C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,∴c====2+2.已知两边及其中一边的对角解三角形

4、例2 在△ABC中,a=2,b=6,A=30°,解三角形.分析 已知三角形的两边及其中一边的对角,先判断三角形是否有解,若有解,解该三角形.解 a=2,b=6,absinA,所以本题有两解,由正弦定理得:sinB===,故B=60°或120°.当B=60°时,C=90°,c==4;当B=120°时,C=30°,c=a=2.所以B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2.总结 已知三角形两边和其中一边的对角,解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,根据该正弦值求角时,需对角的情况加以讨论.变式训

5、练2 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A=60°,a=,b=1,则c等于(  )A.1B.2C.-1D.答案 B解析 由正弦定理=,可得=,∴sinB=,故∠B=30°或150°.由a>b,得∠A>∠B,∴∠B=30°,故∠C=90°,由勾股定理得c=2.已知两边及其中一边的对角,判断三角形解的个数例3 不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=9,b=10,A=60°;(3)c=50,b=72,C=135°.解 (1)sinB=sin120°=×<,所以三角形有一解.(2)sinB=sin60°=×=,而<<1,所以当

6、B为锐角时,满足sinB=的角有60°sinC=,所以B>45°,所以B+C>180°,故三角形无解.总结 已知三角形的两边及其中一边的对角,此类问题可能出现一解、两解或无解的情况,具体判断方法是:可用三角形中大边对大角定理,也可作图判断.变式训练3 不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a=7,b=14,A=30°;(2)a=30,b=25,A=150°;(3)a=7,b=9,A=45°.解 (1)A=30°,a=bsinA,故三角形有一解.(2)A=150°

7、>90°,a=30>b=25,故三角形有一解.(3)A=45°,bsin45°

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