高二数学正弦定理复习

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1、1.1正弦定理和余弦定理课标导读:1.在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系—正弦定理。2.掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形；3.能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。情境导入：2008年青岛奥帆赛成功举办，在比赛中千百艘帆船如离弦之“箭”射向终点，我们知道帆船航行的动力来源于风力，风对帆船的动力与帆船上成三角形的帆布有直接关系，那我们怎样借助于数学知识设计出比较好的帆船呢？新知导学：1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等，即_______。2

2、.一般地，把三角形的三个角和它们所对的边叫做三角形的，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做。3.用正弦定理可解决下列那种问题①已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。诱思探究：1.正弦定理除了课本上用几何的方法证明外，和可以用向量的方法进行证明，下面我们以钝角三角形为例进行说明.解析：在钝角三级形ABC中，如图一中，过A做单位向量j垂直于，则向量j与为向量j与的夹角为，向量j与的夹角为设ＡＢ=c,BC=a,AC＝ｂ．因为+

3、+=0，所以j（++）=j+j+j0。即++0.所以当为锐角三角形（图二），直角三角形（图三）时，利用同样的方法证得结论。ABC图一CBACBA图二图三jjj1.正弦定理与三角形的外接圆紧密联系，它们之间的具体关系是怎样的？解析：设三角形ＡＢＣ的外接圆的半径为R，外接圆圆心为O，则有：具体的证明如下：在下图中，连接CO延长后交圆O于A，则AC=2R，连接AB，则。在中，BC=a,所以a=2Rsina=2RsinA.同理可得：b=2RsinB,c=2RsinC.即：。3.利用正弦定理体现了三角形中边角之间的关系，那么能否利用正弦定理与三角形的面积有何关系呢？

4、解析：①如右图，，所以所以即三角形面积公式为：（R为三角形外接圆半径）疑难导析：1.已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角是否唯一确定呢？情况怎样呢？解析：在中，已知a,b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线ＡＢ的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：（1）A为锐角时：aCbBCAbBAaCABbaBCbBAaaa>bsinAaba=bsinA(2)A为直角或钝角时：CabCCBACaaba>b由上可见，已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角不是唯一确定，可以用下表标：A为钝角A为

5、直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解a=bsinA一解A

6、三角形。导拨：在该题中，已知C及c,可以利用正弦定理列出方程进行求解。解析：由，可得由，可依次计算出，。规律总结：已知三角形两角及其中一角的对边求解三角形这种情况只有一种，处理方法主要借助于正弦定理解方程，在求方程的过程中我们要分清角及其角的对边，搞清楚各个量之间的关系。考查目标二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形。典例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。（1）a=7,b=9,A=100(2)a=10,b=20,A=75(3)a=10,c=5,C=60(4)a=2导拨：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的

7、有可能有两种情况，具体有几解可以借助于《疑难导析》1中的方法解决。解析：（1）本题无解。（2）本题无解。（3）本题有一个解。利用正弦定理，可得：（4）本题有两解。由正弦定理得：当综上所述：规律总结：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解a=bsinA一解A

8、，由正弦定理来解题。解析：根据正弦定理有则C有两解。（1）当C为锐