高二数学直线的倾斜角和斜率

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1、11.2直线的倾斜角和斜率上海市控江中学沈烨　一、教学内容分析本节的重点是直线倾斜角和斜率的概念.引入斜率和倾斜角是为了刻画直线和轴间的相对位置关系，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生理解倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.本节的难点是当斜率为负值或斜率不存在时，求直线的斜率；弄清倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的联系，已知其中一个，会求其它三个.二、教学目标设计理解倾斜角与斜率的概念;建立倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的关系；认识事物间联系的本质，体会用联系的观点看问题.三、教学重点

2、及难点直线的倾斜角、斜率的概念以及它们之间的关系；已知倾斜角、斜率、方向向量中的一个，求其它两个.四、教学用具准备投影仪，ppt演示五、教学流程设计概念符号倾斜角斜率运用与深化(例题解析、巩固练习)复习引入课堂小结并布置作业相互关系倾斜角、斜率、方向向量、法向量的相互联系六、教学过程设计一、复习引入第一节中，我们学习了一次方程是直线的方程，即可以用方程这个代数形式描述直线这个几何曲线.任意两条直线都可以构成角，为了把它代数化，我们用第三条直线去交这两条直线，如果知道它们各自与第三条直线所交成的角，那么它们构成的角就可以算出.我们取轴作为第三条直线

3、，考虑任意直线与轴构成的角.二、讲授新课1、概念引入n什么是倾斜角？给出一些与轴相交的直线（如），学生对照图形，给出倾斜角的定义，教师帮助规范语言，完善概念.若直线与轴相交于点，将轴绕点逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角.那么的倾斜角怎么规定呢？当直线与轴平行或重合（即与轴垂直）时，规定其倾斜角.根据定义，直线的倾斜角的取值范围是.特别地，与轴垂直时，.n什么是斜率当时，记的正切值为，把叫做直线的斜率；当时，直线的斜率不存在.2、概念深化n随着倾斜角在内的取值逐渐增大，斜率的值如何变化呢？当时，斜率存在，作出在的图像，正切

4、函数在区间为单调增，在区间内也是单调增，但在内，却不具有单调性.得到以下结论：(1)随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，.(2)随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，.反之，n直线的倾斜角、斜率、方向向量之间有什么关系？已知其中一个可以求其它两个吗？（1）已知倾斜角当时，；当时，斜率不存在.方向向量.特别地，当时，显然，则也是直线的一个方向向量.（2）已知斜率（）当时，由，故倾斜角；当时，由，故.由于，直线的一个方向向量.（3）已知一个方向向量当时，直线垂直轴，不存在，；当时，也是一个方向向量，而存在，再由上面的分析知也是方向向量，故（这

5、个结论也可以从几何角度研究得到）；倾斜角的研究要根据的符号讨论（请学生课后自行完成）.思考：法向量，倾斜角，斜率又有何关系？（请学生课后自行完成）3、例题解析例1．已知直线上两点，求直线的倾斜角和斜率.（1）；（2）；（3）.[说明]本题考察学生对倾斜角、斜率定义和关系的掌握.一般，当时，过两点的直线的斜率；当时，直线斜率不存在.解：（1）直线的一个方向向量为，故，；（2）直线的一个方向向量为，故不存在，；（3）直线的一个方向向量为，故，；思考：已知直线过两点，直线的倾斜角和斜率是什么？例2．（1）已知直线斜率，求倾斜角及一个方向向量；（2）已知

6、直线的一个方向向量为，求直线的倾斜角和斜率.[说明]本题考察直线倾斜角、斜率、方向向量之间的关系.解：（1）,故为钝角，；直线的一个方向向量；（2），.注意：通过求时，要先判断的符号，若为锐角；若为钝角；若.例3.已知，当取何值时，直线的倾斜角为锐角、直角、钝角？[说明]本题主要涉及倾斜角和斜率的关系.解：若直线的倾斜角为锐角，则，故或；若直线的倾斜角为直角，则不存在，故；若直线的倾斜角为钝角，则，故.思考：时，直线的倾斜角为何值？例4.求直线的倾斜角的范围[说明]本题主要涉及倾斜角和斜率关系的应用.解：设倾斜角为，由题意知斜率；当时，为钝角，，

7、由，得；当时，为锐角，得；当时，；综上所述，倾斜角的取值范围是.[说明]上题的不是倾斜角.解题时需注意当的符号不同时须分开讨论，因为，倾斜角为锐角；，倾斜角为钝角.思考：若已知倾斜角，斜率的取值范围是什么？例5．已知，若直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.[说明]本题主要涉及倾斜角、斜率定义及其应用.解：设直线的倾斜角为，则的倾斜角为.由得.由已知，即.解得，由得，故，直线的斜率为.[说明]倾斜角的范围是一个隐含的条件，由它得到的是一个舍解的条件.例6．已知，直线过点且与线段相交，求：（1）直线的斜率的取值范围；（2）直线的倾斜角的范

8、围.[说明]本题主要涉及倾斜角和斜率定义和关系的灵活应用.解：（1）；（2）当时，倾斜角；当时，；又也符合题意，综上，.[说明]先画出图