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时间:2018-04-26
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1、竞赛讲座35-“设而不求”的未知数所谓“设而不求”的未知数,又叫辅助元素,它是我们为解决问题增设的一些参数,它能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用. 例1 若== 求c十y十z的值。 分析已知条件是以连比的形式出现时,往往引进一个比例参数来表示这个连比. 解 令===k则: x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a). 所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0. 说明 本例中所设的k,就是“设而不求”的未知数. 例2 甲、乙二人在一圆形跑道上跑步,甲用40秒钟就能跑完一圈,乙反
2、向跑,每15秒钟和甲相遇一次,求乙跑完一圈需要多少时间? 分析要求乙跑完一圈需要多少时间,就必须知道他的速度V米/秒,因此可以选择V作参数. 解 设乙跑完一圈需x秒,乙跑步的速度是V米/秒,根据题意,则一圈的总路程可以用vx表示,甲的速度可用 表示. ∴(*15)+15V=Vx.∵V≠0, ∴(*15)+15V=x. ∴x=24. 答:乙跑完一圈需要24秒。 说明 这里V是"设而不求"的未知数. 例3 有一片牧场,草每天都在匀速生长(草每天增长量相等).如果放牧24头牛,则6天吃完牧草;如果放牧21头牛,则8天吃完牧草,设每
3、头牛吃草的量是相等的,问如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草. 解 设每头牛每天吃草量是x,草每天增长量是y,16头牛z天吃完牧草,再设牧场原有草量是a. 根据题意,得 ②-①,得y=12x④ ③-②,得(z-8)y=8x(2z-21).⑤ 由④、⑤,得z=18。 答:如果放牧16头牛,则18天可以吃完牧草. 说明 列含参数的方程解应用题,一般情况下应用题的答案与参数的值无关,我们可以把参数消去,从而得到应用题的答案.
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