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1、东南大学数模论文摘要首先，我们通过使用AUTOCAD软件将原题中的图形在CAD面板上做出来，并将基本要求（与障碍物间的最近距离为10个单位）通过图形的方式表达出来。再经过进一步的分析得出，机器人从O点出发到达A，B，C点和O→A→B→C→O的路径必然是由线段加圆弧组成。最后，我们通过圆的一系列性质证明出：O→A的最短路径是两条通过O,A并与图形5的顶点做成的圆（半径为10）相切形成的线段和与内切圆相夹的圆弧组成的路径之一。以此类推，我们找出O→B，O→C，和O→A→B→C→O的最短路径。得出O→A的最短路径为：470；O→B的最短路径为：852
2、.3；O→C的最短路径为：1087.97；O→A→B→C→O的最短路径为：2723。在考虑耗费时间的问题上，通过证明得出O→A的路径中，只有当路径是最短路径时，路径中圆弧所对应的的圆心角最小，即我们得出：路径中圆弧所对应的圆心角是存在大于零的最小值。再通过数据分析，得出在通过圆弧的时间中，角速度的变化趋势远远大于角度的变化趋势。即我们得出：当考虑通过圆弧的时间时，优先考虑角速度的值。由此，我们可以看出，对于时间的考虑，优先考虑通过圆弧角速度问题，其次考虑通过圆弧圆心角问题，最后考虑通过直线的问题。得出结果为：最短路径所耗费的时间为：94.28s
3、，圆弧半径为11.5。关键词：局部最优解贪心算法拉绳法目录30东南大学数模论文一问题重述4二问题分析5三模型假设6四符号说明6五模型的建立与求解6六模型的检验19七模型的优缺点分析19八模型的推广与改进19参考文献2230东南大学数模论文一问题重述1.1背景：图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0,0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：编号障碍物名称左下顶点坐标其它特性描述1正方形(300,400)边长2002圆形圆心坐标(550,45
4、0)，半径703平行四边形(360,240)底边长140，左上顶点坐标(400,330)4三角形(280,100)上顶点坐标(345,210)，右下顶点坐标(410,100)5正方形(80,60)边长1506三角形(60,300)上顶点坐标(150,435)，右下顶点坐标(235,300)7长方形(0,470)长220，宽608平行四边形(150,600)底边长90，左上顶点坐标(180,680)9长方形(370,680)长60，宽12010正方形(540,600)边长13011正方形(640,520)边长8012长方形(500,140)长30
5、0，宽60在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。机器人直线行走的最大速度为个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为，其中是转弯半径。如果超过该速度，机器人
6、将发生侧翻，无法完成行走。30东南大学数模论文1.2问题描述：请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0,0)，A(300,300)，B(100,700)，C(700,640)，具体计算：(1)机器人从O(0,0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。(2)机器人从O(0,0)出发，到达A的最短时间路径。注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。二问题分析30东南大学数模论文在问题一中，我们首先通过对CAD面板中图形
7、的观察，得出机器人的路径是由线段和圆弧组成的。然后，我们把机器人可能的路径在CAD面板中做出来。观察出最短路径的大致走向，再通过理论证明就可以找出最短路径，并计算出最短路径的数值。在问题二中，我们认为既然已经得出机器人的路径是由线段加圆弧组成。那么，在时间上，二者必然是有联系的。如果我们找出通过线段和圆弧的时间关系，那么对于时间的计算就可以通过观察图形，求导等方法得出时间的最值。三模型假设（一）机器人的速度变化是瞬间的；（二）机器人在运动时可以当成质点进行计算；（三）机器人不能够沿半径为0的圆弧转弯，即不能折线转弯。四符号说明L表示机器人从一点
8、到另外一点的路径总长度表示机器人行走的路径中每一段线段（或弧）的长度表示机器人从O到A的所有可能最短路径表示机器人从O到B的所有可能最短路径表示机器人
