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1、机器人避障问题摘要本文讨论了有约束条件下的的机器人行走避障问题。针对问题一，详细分析了路径设计中的距离运算。证明了起点与终点之间的最短路径必然是在支撑圆弧半径最小时取得。通过构造连通网络图，将原问题转化为在连通图中求两点间的最短路径问题。根据图论中网络优化的最短路决策，建立规划求解模型，在MATLAB下采用Dijkstra算法编程结合CAD软件，求解结果如下：OA最短路径总长为：470.145；OB最短路径总长为：732.6361；OC最短路径总长为：1087.75；OABCO最短路径总长为：2742.5099；对于问题二，在
2、问题一的基础上，由最短路径问题拓展延伸到最短时间路径问题。建立规划模型，运用LINGO软件求解结果如下：最短时间：95.16385秒；最短时间路径为：470.890。【关键词】LINGO，AutoCAD，MATLAB，规划模型，Dijkstra算法，最短路决策13一、问题重述：图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0,0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：编号障碍物名称左下顶点坐标其它特性描述1正方形(300,400)边
3、长2002圆形圆心坐标(550,450)，半径703平行四边形(360,240)底边长140，左上顶点坐标(400,330)4三角形(280,100)上顶点坐标(345,210)，右下顶点坐标(410,100)5正方形(80,60)边长1506三角形(60,300)上顶点坐标(150,435)，右下顶点坐标(235,300)7长方形(0,470)长220，宽608平行四边形(150,600)底边长90，左上顶点坐标(180,680)9长方形(370,680)长60，宽12010正方形(540,600)边长13011正方形(64
4、0,520)边长8012长方形(500,140)长300，宽60在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。机器人直线行走的最大速度为个单位/
5、秒。机器人转弯时，最大转弯速度为，其中是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0,0)，A(300,300)，B(100,700)，C(700,640)，具体计算：(1)机器人从O(0,0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。(2)机器人从O(0,0)出发，到达A的最短时间路径。注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。13图1800×8
6、00平面场景图二、模型假设：1、在避障过程中，将机器人看做质点；2、直线与圆弧相切点的速度突变过程不计。三、符号说明：r——转弯半径；k——障碍物上的任意点与行走路径之间的最短距离；S——路径的总长度；d——每条线段的距离；l——每段圆弧的长度。四、模型建立4.1基本设定：1、考虑机器人行走路径只能是直线段和圆弧，因此在设计行走路径，避让障碍物时，需在各障碍物端点处以圆弧加以支撑。13因此，无论起点和目标点之间障碍物有多少，行走路径都应该是由若干个直线段与圆弧构成。2、对于由起点A到终点B的每一条路径，我们采用拉绳法（即以各拐
7、角处的圆弧为支撑拉紧），使得每一条路径的总长度最短。3、由拉绳法可知，对于某一条确定的路径，端点处支撑圆弧的半径越小，路径总长越短。因此，起点A与终点B之间的最短路径必然是在支撑圆弧半径最小时取得。考虑机器人行走圆弧的最小半径为10个单位，线路与障碍物之间的最近距离不小于10个单位，因此，本文在设计最优路径时，在各障碍物端点处，是用以端点为圆心，10为半径的圆弧加以支撑。4.2模型准备：根据上述基本设定，下面我们给出路径设计中可能碰到的距离计算及其方法：情况一：由起点A绕行障碍物端点，到达终点B如图4-2-1所示，A为起点，B
8、为终点，绕行障碍端点O，C、D为切点。设圆的半径为r，AB的长度为a，AO的长度为b，BO的长度为c，角度=,=,=，.路径总长为S。分析线圆关系，易得：，，，；从而可得：。路径总长的运算过程，编写MATLAB程序见附录1。图4-2-1图4-2-2情况二：由起点A，绕行障碍物
